22nd Mar, AD 2024 20241113

一元函数的定积分

一元函数的定积分的其中一种定义是函数在闭区间上黎曼和（在每一段子区间的宽度趋于零时）的极限。

黎曼和的引入是为了估计一个函数在某一闭区间上与横坐标轴围成的面积。随着划分愈加精细，这个估计愈加精准。如果在每一段划分的长度趋于零时，所有的划分方案对应的黎曼和都趋于同一个极限，则称这个极限是函数在该闭区间上的定积分。我们将黎曼和 $\displaystyle \sum \dots \Delta x_k$ 演变为符号 $\displaystyle \int \dots dx$ 来表示定积分。

实际上，不定积分的符号是藉由微积分基本定理引入的。符号 $\displaystyle \int$ 符合逻辑的第一次引入应该是在此处。

20th Mar, AD 2024 20240409

语法分析：自顶向下方法

语法分析器从词法分析器获得 Token 序列，确认该序列是否可以由语言的文法生成，然后：

对于语法错误的程序，报告错误信息
对于语法正确的程序，生成语法分析树，例如抽象语法树（Abstract Syntax Tree, AST）

自顶向下指的是，从文法的开始符号出发，尝试推导出输入的串。以分析树（Parse Tree）的角度来看，自顶向下方法从根节点出发，构建分析树。

17th Mar, AD 2024 20240505

一元函数的不定积分

这是险恶的撬棍符号 $\displaystyle \int$ 的第一次出现。

定义对于函数 $$f(x)$$ ，如果存在某个可微函数 $$F(x)$$ 对定义区间 $$I$$ 上的所有 $$x$$ ，都有 $$F'(x) = f(x)$$ ，则称 $$F(x)$$ 为函数 $$f(x)$$ 的反导数或一个原函数。函数 $$f(x)$$ 的所有反导数（或称原函数，下文中统一称为原函数）称为函数 $$f(x)$$ 的不定积分，用记号 $\displaystyle \int f(x) dx$ 表示， $\displaystyle \int$ 是积分号， $$x$$ 是积分变量， $$f$$ 是被积函数。