无穷级数
本文概述了无穷级数的基本概念和性质。首先，定义了数项级数及其收敛性，并讨论了级数收敛的相关性质和判别方法。接着，介绍了正项级数的判别法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。随后，讨论了交错级数的莱布尼茨判别法以及一般数项级数的绝对收敛和条件收敛。最后，介绍了幂级数的收敛域、性质及其应用。通过本文，读者可以全面了解无穷级数的基本理论和应用方法。
（摘要由 OpenAI GPT 4o 生成）
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曲线积分与曲面积分
本文系统地介绍了曲线积分和曲面积分的基本概念和计算方法。首先讨论了标量场上的第一类曲线积分（线积分）的定义、性质和计算方法。接着探讨了第二类曲线积分（场积分）及其与第一类曲线积分的关系。随后介绍了曲面积分，包括第一类曲面积分（面积分）和第二类曲面积分（通量积分）的定义、性质及计算技巧。文章还阐述了各类积分之间的联系，以及它们在物理学中的实际应用。
（摘要由 Claude 3.5 Sonnet 生成）
使用一元函数定积分求面积、体积、周长、表面积
本文讲解了如何利用一元函数的定积分来计算面积、体积、弧长和表面积等常见问题。主要内容包括：
- 计算曲线所围成的面积：通过将区域上的二重积分转化为定积分，求解曲线 \(y = f(x)\) 所围成的面积。
- 计算旋转体的体积：
- 绕 \(x\) 轴旋转：使用柱体截面积法，推导出体积公式 \(\displaystyle V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx\)。
- 绕 \(y\) 轴旋转：利用壳体法，得到体积公式 \(\displaystyle V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx\)。
- 计算平面曲线的弧长：提供了参数方程曲线 \(\displaystyle x = \varphi(t), y = \psi(t)\) 的弧长公式 \(\displaystyle L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{[\varphi'(t)]^2 + [\psi'(t)]^2} dt\)，并给出了推导过程。
- 计算旋转曲面的表面积：推导了曲线绕 \(x\) 轴旋转一周所得旋转曲面的表面积公式 \(\displaystyle S = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y , ds\)，其中 \(ds\) 为曲线的弧微分。
文章通过详细的推导和实例，帮助读者理解并掌握利用定积分解决实际几何问题的方法。
（摘要由 OpenAI o1-preview 生成）
值得记录的一元函数积分
! 本页正在转型为值得记录的积分的计算方法集合。
线性代数
本文详细介绍了线性代数的核心内容，涵盖行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等主题。文章首先介绍了行列式的定义、计算方法和性质。接着，讨论了矩阵的基本运算、秩、逆矩阵等概念，以及矩阵的分块、转置和相抵等性质。随后，探讨了向量的线性相关性和线性表示，线性方程组的解法和解的结构。然后，阐述了特征值与特征向量的理论，包括矩阵的相似对角化和 Jordan 标准型。最后，介绍了二次型及其标准化和规范化方法，以及正定矩阵的判定与应用。文章还补充了一部分重要定理的详细证明，帮助读者深入理解线性代数的理论基础。
（摘要由 OpenAI GPT 4o 生成）
二重积分
本文详细介绍了二重积分的基本概念和计算方法。首先定义了二重积分的黎曼和，解释了如何通过将区域分割成小矩形并求和来计算二重积分。接着，讨论了二重积分的基本性质，包括线性性、可加性和优势积分等。随后，介绍了富比尼定理，说明了如何将二重积分转化为累次积分，并给出了在直角坐标系和极坐标系下计算二重积分的方法。文章还探讨了二重积分的一般换元法，介绍了通过坐标变换简化积分计算的技巧。最后，通过多个例题展示了如何应用对称性、换元法和曲线积分等方法来简化和计算复杂的二重积分。通过本文的学习，读者可以全面掌握二重积分的理论基础和计算技巧。
（摘要由 OpenAI GPT 4o 生成）
多元函数的导数与微分
本文详细介绍了多元函数的导数与微分的基本概念和计算方法。首先定义了多元函数的偏导数，解释了全增量和偏增量的概念，并给出了偏导数的定义和计算方法。接着，讨论了高阶偏导数与混合偏导数，介绍了它们的定义和计算技巧，并证明了混合偏导数在一定条件下可以交换次序。随后，文章探讨了多元函数的全微分，定义了全微分的概念，并讨论了可微性与连续性、可微性与可导性的关系。文章还介绍了复合函数的求导法（链式法则），并通过实例说明了其应用。最后，讨论了隐函数求导法则、场的方向导数与梯度、多元函数的泰勒公式以及多元函数的极值与最值的求法，包括无条件极值和条件最值（拉格朗日乘数法）。通过本文的学习，读者可以全面掌握多元函数导数与微分的基本理论和计算技巧，为进一步研究和应用奠定坚实的基础。
（摘要由 OpenAI GPT 4o 生成）
多元函数的极限与连续性
本文详细介绍了多元函数的极限与连续性的基本概念和计算方法。首先，定义了平面点集中的邻域和去心邻域，讨论了点与点集的关系，如内点、外点和边界点，以及开集、闭集、连通集等相关概念。接着，阐述了二元函数的极限定义，强调了极限值与趋近路径无关的重要性，并提供了判断极限不存在的方法。文章还介绍了二元函数极限的计算技巧，包括利用夹逼定理、等价无穷小和特殊趋近路径等方法。随后，讨论了二重极限与累次极限的关系，指出了二者存在性之间的差异，以及在计算过程中需要注意的事项。最后，深入探讨了二元函数的连续性，给出了函数在一点处连续的定义，并讨论了连续函数在有界闭区域上的重要性质，如有界性、最大最小值定理和介值定理。通过本文的学习，读者可以全面掌握多元函数极限与连续性的理论基础，为进一步研究高等数学奠定坚实的基础。
（摘要由 OpenAI o1-preview 生成）
编译原理
《编译原理》课程主要内容：{% post_link lexical-analysis %}、语法分析（{% post_link syntactic-analysis-top-down %}、{% post_link syntactic-analysis-bottom-up %}）、抽象语法、{% post_link semantic-analysis %}、{% post_link activition-record %}、{% post_link intermediate-representation %}、基本块和轨迹（包含在 {% post_link intermediate-representation %} 之内、处理 IR 之后）、{% post_link instruction-selection %}、{% post_link liveness-analysis %}、寄存器分配、垃圾回收、面向对象语言、循环优化。部分章节有比较完整的笔记（详见链接），全部章节内容的概要在下面的 A4 cheat paper 中：
指令选择
本文简要介绍了指令选择问题中的两种主要方法：
- 使用贪心策略的 Maximal Munch 算法，通过选择最大图块覆盖 IR 树节点，快速生成指令。
- 基于动态规划的算法，自下而上地计算最优代价，获得更精确的整体最优解。
通过对比这两种方法，可以在编译过程中更好地进行目标代码生成。
（摘要由 OpenAI o1-preview 生成）