常微分方程
高等数学之常微分方程。包括一阶微分方程（可分离变量的方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、全微分方程）、可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程（常系数线性齐次和非齐次微分方程）、欧拉方程。主要探讨这些方程的求解法。
省流：
| 微分方程 | 通解/换元法 |
|---|---|
| \(y' + p(x) y = 0\) | \(\displaystyle y = Ce^{-\int p(x) dx}\) |
| \(y' + p(x) y = q (x)\) | \(\displaystyle y = \left[\int q(x)e^{\int p(x) dx}dx + C \right] e^{-\int p(x) dx}\) |
| 全微分方程 | \(\displaystyle \int_{(0, 0)}^{(x, y)} P dx + Q dy = C\) |
| \(y'' + b y' + c = 0\) | 特征方程 \(\lambda^2 + b\lambda + c = 0\) |
| \(k\) 重实数根 \(\lambda_i\) 对应分量 \(C x^{k-1} e^{\lambda_i}\) | |
| 共轭复根\(\lambda = a\pm bi\) 对应分量 \(e^{ax}\big(C_1 \sin bx + C_2 \cos bx\big)\) | |
| 通解为所有分量之和 | |
| \(y'' + by' + c = P_m(x)\cdot e^{\lambda x}\) | 非齐次方程的一个特解为 \(\tilde{y} = Q_m(x) x^k e^{\lambda x}\) |
| \(\lambda\) 为特征方程的 \(k\) 重根，\(P_m(x), Q_m(x)\) 为不超过 \(m\) 次的多项式 | |
| \(y'' + py' + qy = e^{\alpha x}[P_c(x) \cos \beta x + P_s(x) \sin \beta x]\) | \(\tilde{y} = x^{k} e^{\alpha x}[R_{m,1}(x)\cos \beta x + R_{m,2}(x)\sin \beta x]\) |
| \(\alpha \pm \beta i\) 是特征方程的根时 \(k = 1\)；否则 \(k = 0\) | |
| \(y'' = f(x, y')\) | 令 \(p = y'\)，求解关于 \(p, x\) 的微分方程 |
| \(y'' = f(y', y)\) | 令 \(p = y'\)，\(\displaystyle y'' = p\frac{dp}{dy}\)，求解关于 \(p, y\) 的微分方程 |