数学速查备忘
本文收录在实际练习中遇到的不成体系的数学技巧或是疑难问题的解答，方便日后查阅。
2024¶
使用积分求解几何量
高等数学之用积分求解几何量。省流：
| 几何量 | 方法 | 说明 |
|---|---|---|
| 面积 | \(\displaystyle \iint_D 1\,dA\) | 区域 \(D\) 的二重积分 |
| 弧长 | \(\displaystyle \int_L 1\,ds\) | 曲线 \(L\) 的第一类曲线积分 |
| 体积（绕 \(x\) 轴） | \(\displaystyle V = \int_a^b \pi [f(x)]^2\,dx\) | \(y=f(x)\) 绕 \(x\) 轴旋转 |
| 体积（绕 \(y\) 轴） | \(\displaystyle V = \int_a^b 2\pi x f(x)\,dx\) | \(y=f(x)\) 绕 \(y\) 轴旋转 |
| 侧面积（绕 \(x\) 轴） | \(\displaystyle S = \int_L 2\pi y\,ds\) | 曲线绕 \(x\) 轴旋转 |
| 形心 | \(\displaystyle \left( \frac{\iint_D x\,dA}{\iint_D 1\,dA},\ \frac{\iint_D y\,dA}{\iint_D 1\,dA} \right)\) | 平面区域 \(D\) 的形心 |
| 弧长微分 | \(\displaystyle ds = \sqrt{\left[\varphi'(t)\right]^2 + \left[\psi'(t)\right]^2}dt\) | 参数方程表示 |
| \(\displaystyle ds = \sqrt{1 + \left[f'(x)\right]^2}dx\) | \(y = f(x)\) 表示 | |
| \(\displaystyle ds = \sqrt{\left[r(\theta)\right]^2 + \left[r'(\theta)\right]^2}d\theta\) | 极坐标方程表示 |
常用积分及积分技巧表
本文收录在习题中经常会遇到的一些常用积分的计算方法以及对应的技巧，目前以单变量积分为主，方便日后查阅。
线性代数
研究生入学考试，全国统考数学共通部分，线性代数。
二重积分
高等数学之二重积分。包括二重积分的定义、性质、计算技巧、换元法，以及在直角坐标系和极坐标系下的二重积分计算方法。
多元函数的导数与微分
高等数学之多元函数的导数与微分。包括多元函数的偏导数、高阶偏导数与混合偏导数、多元函数的全微分、复合函数的求导法（链式法则）、隐函数求导法则、场的方向导数与梯度、多元函数的泰勒公式、多元函数的极值与最值。以及连续性、可导性、可微性的关系。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限与连续性。包括二元函数的极限定义、存在性判断与计算方法、二重极限和累次极限的关系、以及二元函数的连续性与连续函数的相关性质。
指令选择
本文简要介绍了指令选择问题中的两种主要方法：
- 使用贪心策略的 Maximal Munch 算法，通过选择最大图块覆盖 IR 树节点，快速生成指令。
- 基于动态规划的算法，自下而上地计算最优代价，获得更精确的整体最优解。
活跃变量分析
本文介绍了编译原理中的活跃变量分析，以及其在寄存器分配和死代码删除等方面的应用。具体内容包括构建控制流图进行数据流分析、活跃变量的定义与判定算法。