三重积分的定义
与二重积分类似，三重积分被定义为以下和式的极限：
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta V_i
$$
其中，$\Omega$ 是三维空间中的某一区域，$\Delta V_i$ 是 $\Omega$ 中的某一小体积，$(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ 是 $\Delta V_i$ 中的某一点，$\lambda$ 是 $\Delta V_i$ 的最大直径。
三重积分的性质
三重积分的代数性质
三重积分具有和二重积分、单积分相同的代数性质：
(1) 线性性质A：$\displaystyle \iiint_\Omega k f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = k \iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d}V$；
(2) 线性性质B：$\displaystyle \iiint_\Omega [f(x, y, z) \pm g(x, y, z)] \, \mathrm{d}V = \iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d}V \pm \iiint_\Omega g(x, y, z) \, \mathrm{d}V$；
(3) 区域可加性：设 $\Omega$ 可分为有限个互不相交的子区域 $\Omega_1, \Omega_2, \cdots, \Omega_n$，则 $\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = \sum_{i=1}^{n} \iiint_{\Omega_i} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V$；
(4) 优势积分：若 $f(x, y, z) \geq g(x, y, z)$，则 $\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d}V \geq \iiint_\Omega g(x, y, z) \, \mathrm{d}V$。
三重积分同样满足积分中值定理，即若 $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则至少存在一点 $(\xi, \eta, \zeta) \in \Omega$，使得
$$\iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = f(\xi, \eta, \zeta) \cdot V
$$
对称性：
(1) 如果积分区域 $\Omega$ 关于 $x/y/z$ 轴对称，并且 $f(x, y, z)$ 是关于 $x/y/z$ 的奇函数，则有
$\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = 0$；
(2) 如果积分区域 $\Omega$ 关于 $x/y/z$ 轴对称，并且 $f(x, y, z)$ 是关于 $x/y/z$ 的偶函数，则有
$\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = 2 \iiint_{\Omega_{1/2}} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V$；
(3) 如果积分区域 $\Omega$ 中 $x$ 与 $y$ 具有等价的地位，则有
$\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = \iiint_{\Omega'} f(y, x, z) \, \mathrm{d}V$；
(4) 如果积分区域 $\Omega$ 中 $x$，$y$，$z$ 具有等价的地位，则有
$\displaystyle \iiint_\Omega f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = \iiint_{\Omega} f(y, z, x) \, \mathrm{d}V = \iiint_{\Omega} f(z, x, y) \, \mathrm{d}V$。
三重积分换元法
假设用形如 $\begin{cases} x = x(u, v, w) \\ y = y(u, v, w) \\ z = z(u, v, w) \end{cases}$ （其中 $x, y, z$ 都是可微函数）的变换，将 $uvw$ 坐标系中的积分区域 $\Omega^*$ 一对一地变换为 $xyz$ 坐标系中的积分区域 $\Omega$，则有
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iiint\limits_{\Omega^*} f[x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)] \left| \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} \right| \, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v \, \mathrm{d}w
$$
其中，$\displaystyle \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}$ 是雅可比行列式，定义为：
$$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} = \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial w} \\ \displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial w} \\ \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}
$$
直角坐标系下的三重积分
积分区域的确定
分为两种方法，即先一后二和先二后一。
先一后二：先做对积分变量 $z$ 的单积分，后在 $xOy$ 平面某区域（积分区域 $\Omega$ 在 $xOy$ 平面上的投影）上做二重积分。
先二后一：先在 $z = \dots$ 的切面上做二重积分，后从 $z_{min}$ 到 $z_{max}$ 做单积分。
这两种方法如图所示：
Thomas’ Calculus, 13th Edition, Section 15.7
柱面坐标系下的三重积分
柱面坐标系通过有序三元组 $(r, \theta, z)$ 表示空间中的点 $P$，其中 $r \geq 0$：
(1) $r$ 和 $\theta$ 是点 $P$ 在 $xOy$ 平面上的垂直投影的极坐标；
(2) $z$ 是点 $P$ 到 $xOy$ 平面的距离，即直角坐标系中的垂直坐标。
柱面坐标到直角坐标的转换公式为：$\begin{cases}x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \\ z = z\end{cases}$。
依据换元法，有 $\mathrm{d}V = \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z$，因此转为柱面坐标系下的三重积分公式为：
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = \iiint\limits_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z
$$
积分区域的确定
一样分为先一后二和先二后一两种方法。
二重积分应当在 $r\theta$ 平面上的进行计算。这个二重积分的算法见极坐标系下的二重积分。
球面坐标系下的三重积分
球面坐标系通过有序三元组 $(r, \varphi, \theta)$ 表示空间中的点 $P$，其中：
(1) $r$ 是点 $P$ 到原点的距离（$r \geq 0$）；
(2) $\varphi$ 是 $\overrightarrow{OP}$ 与 $z$ 轴正向之间的夹角（$0 \leq \varphi \leq \pi$）；
(3) $\theta$ 是柱面坐标中的角度。
球面坐标到直角坐标的转换公式为：$\begin{cases}x = r \sin \varphi \cos \theta \\ y = r \sin \varphi \sin \theta \\ z = r \cos \varphi\end{cases}$。
Thomas’ Calculus, 13th Edition, Section 15.7, Figure 15.4.8
依据换元法，有 $\mathrm{d}V = \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = r^2 \sin \varphi \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta$，因此转为球面坐标系下的三重积分公式为：
$$\iiint\limits_{\Omega} f(x, y, z) \, \mathrm{d}V = \iiint\limits_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) \, r^2 \sin \varphi \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\theta
$$
积分区域的确定
先积 $\rho$ 后积 $\varphi$ 后积 $\theta$，转化为累次积分。把被积分区域用以下不等式表示：
$$\begin{array}{rcl}
\rho_1(\varphi, \theta) &\leq \rho \leq& \rho_2(\varphi, \theta) \\
\varphi_1(\theta) &\leq \varphi \leq& \varphi_2(\theta) \\
\theta_1 &\leq \theta \leq& \theta_2
\end{array}
$$
寻找待定常数和函数 $\theta_1, \theta_2, \varphi_1, \varphi_2, \rho_1, \rho_2$，应当依从反过来的顺序，即先确定 $\theta_1, \theta_2$，再确定 $\varphi_1, \varphi_2$，最后确定 $\rho_1, \rho_2$。
苏德矿 《微积分（下）》，第 9.3.3 节，图 9.4.2
