向量及其基本运算
向量的内积（点积、数量积）、外积（叉积、矢量积）
三维向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$。
内积（点积、数量积）：$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$。
内积将一个向量投影到另一个向量上，得到一个标量。
内积满足交换律：$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$。
内积满足对加法的分配律：$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$。
内积满足对数乘的结合律：$(\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b})$。
两个向量的夹角 $\theta$ 满足 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$。
两个向量垂直 $\Leftrightarrow$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。
外积（叉积、矢量积）：$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$。
$\vec{a} \times \vec{b}$ 是一个垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的向量，且 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$。
外积的模长是以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的面积。
外积不满足交换律：$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$。
外积满足对加法的分配律：$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$。
外积满足对数乘的结合律：$(\lambda \vec{a}) \times \vec{b} = \lambda (\vec{a} \times \vec{b}) = \vec{a} \times (\lambda \vec{b})$。
外积不满足结合律：$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$。
两个向量平行 $\Leftrightarrow$ $\vec{a} \times \vec{b} = 0$。
向量的数量三重积
三维向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$，$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，$\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$。
数量三重积：$(\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}$。
数量三重积的几何意义是，其绝对值 $|(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$ 是以 $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ 为邻边的平行六面体的体积。
数量三重积交换其中两个向量的位置，值变号：$(\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}) = - (\vec{b}\ \vec{a}\ \vec{c})$（等价于行列式中交换两行）。
三个向量共面 $\Leftrightarrow$ $(\vec{a}\ \vec{b}\ \vec{c}) = 0$。
空间中的直线和平面
直线、平面的方程
平面的一般方程：$Ax + By + Cz + D = 0$，可以从中得到平面的法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$。
平面的点法向式方程：$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$，如果平面过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，且法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$。
直线的一般方程：$\begin{cases} A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0 \\ A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0 \end{cases}$，可以从中得到直线的方向向量为 $\vec{l} = (A_1, B_1, C_1) \times (A_2, B_2, C_2)$。
直线的点方向式方程：$\displaystyle \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$，其中直线过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，方向向量为 $\vec{l} = (l, m, n)$。
直线的参数方程：$\begin{cases} x = x_0 + l t \\ y = y_0 + m t \\ z = z_0 + n t \end{cases}$，其中直线过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$，方向向量为 $\vec{l} = (l, m, n)$。
直线的截距式方程：$\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$，其中直线与三个坐标面的交点分别为 $(a, 0, 0)$、$(0, b, 0)$、$(0, 0, c)$。
直线、平面之间的位置关系
用直线的方向向量、平面的法向量来判断直线与平面的位置关系。
点、直线、平面之间的距离
点到直线的距离：$\displaystyle d = \frac{|\vec{r} \times \vec{l}|}{|\vec{l}|}$，其中 $\vec{r}$ 是点到直线的向量，$\vec{l}$ 是直线的方向向量。考虑 $\vec{r}$ 和 $\vec{l}$ 组成的平行四边形的高。
点到平面的距离：$\displaystyle d = \frac{|\vec{r} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$，其中 $\vec{r}$ 是点到平面的向量，$\vec{n}$ 是平面的法向量。考虑 $\vec{r}$ 在 $\vec{n}$ 上的投影长度。展开后得到第二个等号，其中，$P_0(x_0, y_0, z_0)$ 是点，$Ax + By + Cz + D = 0$ 是平面。
异面直线的距离：$\displaystyle d = \frac{|(\vec{l_1} \times \vec{l_2}) \cdot \vec{r}|}{|\vec{l_1} \times \vec{l_2}|}$，其中 $\vec{l_1}$ 和 $\vec{l_2}$ 是两条异面直线的方向向量，$\vec{r}$ 是两条异面直线上任取两点的连线。考虑由 $\vec{l_1}$、$\vec{l_2}$、$\vec{r}$ 构成的平行六面体的高，底是由 $\vec{l_1}$、$\vec{l_2}$ 构成的平行四边形。
直线到平面的距离：隐含的条件是直线与平面平行，此时问题退化为点到平面的距离。
平面到平面的距离：$\displaystyle d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$，其中 $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ 和 $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ 是两个平行平面，考虑以 $z/x/y$ 轴交平面与两点的连线的长度在法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$ 上的投影。
空间中的曲线和曲面
空间内的曲面方程：
以隐函数式给出时：$F(x, y, z) = 0$。
有时能转写为显函数：$z = f(x, y)$。
空间内的曲线方程：
以参数式给出时：$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$。
以一般方程给出时：$\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$，这实际上是两个空间曲面的交线。
曲面的交线
两曲面的交线是两个方程的联立解：曲面 $F(x, y, z) = 0$ 和 $G(x, y, z) = 0$ 的交线是 $\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$ 的解。
曲面的交线在 $xOy$、$yOz$、$zOx$ 面上的投影：
在 $xOy$ 面上的投影：联立 $F(x, y, z) = 0$ 和 $G(x, y, z) = 0$，令 $z$ 项消去，得到 $H(x, y) = 0$。再补充 $z = 0$，得到 $\begin{cases} H(x, y) = 0 \\ z = 0\end{cases}$，即在 $xOy$ 面上的投影。在其他坐标轴面上的投影同理。
曲线的柱面、旋转曲面
柱面：平行于给定直线，并沿曲线（准线）移动的直线（母线）的轨迹。
一般解法：柱面上任意一点 $P(x, y, z)$ 应当满足：存在曲线上一点 $Q(x_0, y_0, z_0)$，使得 $\overrightarrow{PQ}$ 与母线平行。即 $\overrightarrow{PQ} = \lambda \vec{l}$，其中 $\vec{l}$ 是母线的方向向量。
准线在 $xOy$ 平面上：$\begin{cases} f(x, y) = 0 \\ z = z_0 \end{cases}$，母线平行于 $z$ 轴的柱面方程：$f(x, y) = 0$。
任意的准线 $\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$，母线平行于 $z$ 轴的柱面方程：联立后消去 $z$ 项，得到 $H(x, y) = 0$。
旋转曲面：平面曲线绕平面上的一条直线旋转一周所得的曲面。
一般解法：旋转曲面上任意一点 $P(x, y, z)$ 应当满足：存在曲线上一点 $Q(x_0, y_0, z_0)$，使得 $\overrightarrow{PQ}$ 与旋转轴垂直，并且到旋转轴的距离相等。
$xOy$ 平面上的曲线 $\begin{cases} f(x, y) = 0 \\ z = z_0 \end{cases}$，绕 $x$ 轴旋转的曲面方程：$f(x, \pm \sqrt{x^2 + y^2}) = 0$。
$xOy$ 平面上的曲线 $\begin{cases} f(x, y) = 0 \\ z = z_0 \end{cases}$，绕 $y$ 轴旋转的曲面方程：$f(\pm \sqrt{x^2 + y^2}, y) = 0$。
曲面上一点的法线和切平面
曲面上一点的法线方向为 $\displaystyle \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)$。
已知法线方向，根据点法向式方程，就能够得到切平面的方程。
曲线上一点的切线和法平面
当曲线方程由参数式 $\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$ 给出，曲线上一点的切线方向为 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} \vec{r}}{\mathrm{d} t} = \left( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}, \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}, \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} t} \right)$。
当曲线方程由一般方程 $\begin{cases} F(x, y, z) = 0 \\ G(x, y, z) = 0 \end{cases}$ 给出，曲线上一点的切线方向为 $\nabla F \times \nabla G$，即同时垂直于两个曲面的法向量的向量。
已知切线方向，根据点法向式方程，就能够得到法平面的方程。
二次曲面
Thomas’ Calculus 13th Edition, Section 12.6.
