无穷级数

本文概述了无穷级数的基本概念和性质。首先，定义了数项级数及其收敛性，并讨论了级数收敛的相关性质和判别方法。接着，介绍了正项级数的判别法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法。随后，讨论了交错级数的莱布尼茨判别法以及一般数项级数的绝对收敛和条件收敛。最后，介绍了幂级数的收敛域、性质及其应用。通过本文，读者可以全面了解无穷级数的基本理论和应用方法。

（摘要由 OpenAI GPT 4o 生成）

数项级数¶

数项级数的基本概念¶

设 \(\{u_n\}\) 是给定的数列，那么数项级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)\) 的部分和 \(S_n\) 定义为：

\[ S_n = \sum_{k = 1}^{n} u_k = u_1 + u_2 + ... + u_n \]

收敛如果当 \(n \to \infty\) 时，极限 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n = S\) 存在，那么称数项级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 收敛，级数的和为 \(S\)。

可以看到数项级数的收敛概念是源于对其部分和的极限的讨论，因此，对部分和数列 \(\{S_n\}\) 应用数列极限的相关结论，可以得到以下性质：

改变或增减有限项不影响级数的敛散性；
如果级数收敛，那么在级数中任意添加括号后得到的级数仍然收敛，且其和不变；
如果 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 收敛，那么 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0\)；
如果 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n = A\)，\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n = B\) 均收敛，那么 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} (\alpha u_n + \beta v_n) = \alpha A + \beta B\) 也收敛；
收敛 + 收敛 = 收敛；
收敛 + 发散 = 发散；
发散 + 发散 = 未定。

() 对部分和数列 \(\{S_n\}\) 应用数列极限的柯西收敛准则，可以得到级数收敛的充分必要条件*：

（柯西收敛准则）\(\forall \varepsilon > 0\)，\(\exists N > 0\)，当 \(n > N\) 时，对一切 \(p \in \mathbb{N}\) 都有 \(|a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+p}| < \varepsilon\)。

正项级数¶

正项级数的部分和数列是单调递增的，因此，根据单调有界原理，我们得出正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。

由此，可以引出若干判定正项级数收敛的充分但非必要条件：

比较判别法及其极限形式¶

定理设 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 和 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n\) 是两个正项级数，且对从某一正整数 \(k\) 开始的一切自然数 \(n\) 都有 \(u_n \leq v_n\)，那么：

(1) 若 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n\) 收敛，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 也收敛（大的收敛小的一定收敛）；

(2) 若 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 发散，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n\) 也发散（小的发散大的一定发散）。

证明.

以下对 \(k = 1\) 的情况进行证明，对于 \(k > 1\) 的情况，由于从级数中删去有限项不影响级数的敛散性，因此可以将前 \(k - 1\) 项删去后应用 \(k = 1\) 的结论。

(1) 设 \(v_n\) 的前 \(n\) 项和 \(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n}v_k = B_n\)，那么：

\[ \sum_{k = 1}^{n}u_k \leq \sum_{k = 1}^{n}v_k \leq B_n \]

由于 \(B_n\) 收敛，根据单调有界原理，\(B_n\) 有上界 \(M\)，因此 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 有上界 \(M\)，又由于是正项级数，故收敛。

(2) 反证法。假设此时 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n\) 收敛，那么根据 (1) 的结论，\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 也收敛，与题设矛盾。由于级数要么收敛，要么发散，因此 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n\) 发散。\(\blacksquare\)

这个定理可以放松条件至 \(u_n \leq Cv_n\)，其中 \(C\) 是一个非负常数。

推论设 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 和 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n\) 是两个正项级数，且有 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = l\)，那么：

(1) 若 \(0 < l < +\infty\)，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 和 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n\) 同敛散；

(2) 若 \(l = 0\)，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n\) 收敛，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 也收敛；

(3) 若 \(l = +\infty\)，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n\) 发散，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 也发散。

使用极限的不等式性质（保号性）可以证明这个推论。

比值判别法（达朗贝尔判别法）¶

定理设 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 是正项级数，\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \gamma\)，那么：

(1) 若 \(\gamma < 1\)，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 收敛；

(2) 若 \(\gamma > 1\)（或 \(+\infty\)），则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 发散；

(3) 若 \(\gamma = 1\)，则此判别法失效。

证明.

(1) 取常数 \(q_0\) 满足 \(\gamma < q_0 < 1\)，根据极限的不等式性质（保号性），存在 \(N > 0\) 使得 \(n > N\) 时，有 \(\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} < q_0\)，从而从这一项起：

\[ \frac{u_{N + 1}}{u_N} \cdot \frac{u_{N + 2}}{u_{N + 1}} \cdot ... \cdot \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} < q_0^{n - N} \]

即对足够大的 \(n\)，\(\displaystyle u_n < u_N q_0^{n - N}\)，由于 \(q_0 < 1\)，级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_N q_0^{n - N}\) 收敛，根据比较判别法，\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 也收敛。

(2) \(\gamma > 1\)（或 \(+\infty\)），则从某一项起，数列 \(\{u_n\}\) 单调递增，而又由于 \(u_n > 0\)，从而 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \neq 0\)，根据级数收敛的必要条件，\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 发散。

(3) \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}\) 发散，\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\) 收敛，而他们都满足 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1\)，故此时该判别法失效。\(\blacksquare\)

根值判别法（柯西判别法）¶

定理设 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 是正项级数，\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{u_n} = \gamma\)，那么：

(1) 若 \(\gamma < 1\)，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 收敛；

(2) 若 \(\gamma > 1\)（或 \(+\infty\)），则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 发散；

(3) 若 \(\gamma = 1\)，则此判别法失效。

证明与达朗贝尔判别法类似，都是对等比级数使用比较判别法。

积分判别法¶

定理设 \(f(x)\) 是单调递减的非负函数，\(f(n) = u_n\)，那么级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 和反常积分 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) dx\) 同敛散。

证明.

(1) 级数收敛推反常积分收敛：

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) dx &= \displaystyle \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx + ... + \int_{n}^{n+1} f(x) dx + ... \\ &= \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \int_{n}^{n+1} f(x) dx \\ \end{array} \]

而 \(f(x)\) 单调递减，从而 \(\displaystyle f(n+1) \leq \int_{n}^{n+1} f(x) dx \leq f(n)\)，因此，由比较判别法，\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \int_{n}^{n+1} f(x) dx\) 收敛，从而 \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) dx\) 收敛。

(2) 反常积分收敛推级数收敛：

与 (1) 同理可推得 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_{n+1}\) 收敛，从而 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 收敛。\(\blacksquare\)

由于比值判别法和根值判别法是由与等比级数的比较而来，因此，这两种判别法的适用范围是有限的。就通项的增长速度而言：

\[ \displaystyle \frac{1}{\ln^p n} > \frac{1}{n^p} > \frac{1}{a^n} > \frac{1}{n!} > \frac{1}{n^n} \]

以 \(\displaystyle \frac{1}{a^n}\) 为基准，比值判别法和根值判别法适用范围为后三者。

比较判别法和积分判别法适用范围更广。

对于比较判别法来说，可以使用等价无穷小代换，这是因为：

假设 \(a_n \sim b_n\)，那么 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1\)，从而 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n\) 和 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} b_n\) 同敛散。

交错级数¶

莱布尼茨判别法¶

定理设 \(\{u_n\}\) 从某项起单调不增，且 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = 0\)，那么交错级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n-1} u_n\) 收敛。

证明. 设前 \(n\) 项和为 \(S_n\)，考虑前 \(2m\) 项的部分和：

\[ \begin{array}{rl} S_{2m} &= u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + ... + u_{2m - 1} - u_{2m} \\ &= u_1 - (u_2 - u_3) - (u_4 - u_5) - ... - (u_{2m - 2} - u_{2m - 1}) - u_{2m} \\ &\leq u_1 \end{array} \]

而 \(S_{2m + 2} - S_{2m} = u_{2m + 1} - u_{2m + 2} \geq 0\)，由单调有界原理，\(\{S_{2m}\}\) 收敛。由此可得 \(\{S_{2m + 1}\}\) 也收敛，从而 \(\{S_n\}\) 收敛。\(\blacksquare\)

一般的数项级数¶

使用下面的定理，可以将一般的数项级数转化为正项级数考虑：

定理如果级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|\) 收敛，那么 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 也收敛。

证明. 考虑 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n + |u_n|\) 的敛散性。

这是一个正项级数，且有 \(u_n + |u_n| \leq 2|u_n|\)，根据比较判别法，\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n + |u_n|\) 收敛，从而 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 也收敛。\(\blacksquare\)

条件收敛与绝对收敛¶

如果级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|\) 收敛，则称级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 绝对收敛。

如果级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 收敛，而 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|\) 发散，那么称级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 是条件收敛的。

条件收敛级数的正项组成的级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{u_n + |u_n|}{2}\) 发散；条件收敛级数的负项组成的级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{u_n - |u_n|}{2}\) 也发散。

绝对值的比值和根值判别法¶

定理设 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 是一般级数，\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \gamma\)，那么：

(1) 若 \(\gamma < 1\)，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|\) 收敛，即 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 绝对收敛；

(2) 若 \(\gamma > 1\)（或 \(+\infty\)），则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 发散；

(3) 若 \(\gamma = 1\)，则此判别法失效。

证明. 只证明 (2) 为什么可以直接得到原级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 发散。

由极限的不等式性质，当 \(n\) 足够大时，\(\displaystyle \frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} > 1\)，从而自某项起数列 \(\{|u_n|\}\) 单调递增。又由于 \(|u_n| > 0\)，因此，\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} |u_n| \neq 0\)，从而 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \neq 0\) 从而 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 发散。\(\blacksquare\)

定理设 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 是一般级数，\(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|u_n|} = \gamma\)，那么：

(1) 若 \(\gamma < 1\)，则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|\) 收敛，即 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 绝对收敛；

(2) 若 \(\gamma > 1\)（或 \(+\infty\)），则 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n\) 发散；

(3) 若 \(\gamma = 1\)，则此判别法失效。

(*) 绝对收敛的级数的性质¶

绝对收敛的级数拥有更好的性质，例如：

重排级数仍然绝对收敛，并取得相同的级数和（而条件收敛的级数可以通过重排得到任意结果）；
绝对收敛的两个级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n = A\)，\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n = B\)，则按任意顺序排列的两级数之积仍然绝对收敛，且其和为 \(AB\)。

函数项级数¶

函数项级数的基本概念¶

设 \(\{u_n(x)\}\) 是定义在区间 \(D\) 上的函数序列，那么函数项级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)\) 的部分和函数 \(S_n(x)\) 定义为：

\[ S_n(x) = \sum_{k = 1}^{n} u_k(x) = u_1(x) + u_2(x) + ... + u_n(x),\quad x \in D \]

收敛固定 \(x = x_0\)，如果数列 \(\{S_n(x_0)\}\) 收敛，即此时部分和函数的极限 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n(x_0)\) 存在，那么称函数项级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处收敛。

收敛域 如果函数项级数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)\) 在区间 \(D\) 上的每一点 \(x\) 都收敛，那么称函数项级数在 \(D\) 上收敛。此时称 \(D\) 为函数项级数的收敛域。

() 一致收敛* 用极限的定义展开函数项级数收敛的定义：对 \(D\) 上的每一点 \(x_0\)，总存在 \(N(\varepsilon, x_0) >0\) 使得当 \(n > N\) 时，对 \(D\) 上的每一点 \(x\) 都有 \(|S_n(x) - S(x)| < \varepsilon\)。这里的 \(N(\varepsilon, x_0)\) 的取值可能依赖于 \(\varepsilon, x_0\)。如果对 \(D\) 上的每一点 \(x_0\) 和固定的 \(\varepsilon\) 能找到与 \(x_0\) 无关的 \(N(\varepsilon)\)，那么称函数项级数在 \(D\) 上一致收敛。

一致收敛的几何意义是，对于任意给定的误差 \(\varepsilon\)，都能找到 \(N\) 使得当 \(n > N\) 时，函数项级数的部分和函数 \(S_n(x)\) 在整个区间 \(D\) 上的图像都落在误差带 \(\varepsilon\) 内。

一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法：如果对一切 \(x \in D\) 都有 \(|u_n(x)| \leq M_n\)（\(n = k, k+1, ...\)），其中 \(\displaystyle \sum_{n = k}^{+\infty} M_n\) 是一个收敛的正项级数，那么函数项级数 \(\displaystyle \sum_{n = k}^{+\infty} u_n(x)\) 在 \(D\) 上一致收敛。

一致收敛的函数项级数拥有以下性质：

一致收敛的函数项级数如果各个项 \(u_n(x)\) 连续，级数和函数 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)\) 也连续；
一致收敛的函数项级数可以逐项积分，即可以交换 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}\) 和 \(\displaystyle \int_a^b\) 的次序；
一致收敛的函数项级数，如果逐项微分后得到的级数仍然一致收敛，那么可以逐项微分，即可以交换 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}\) 和 \(\displaystyle \frac{d}{dx}\) 的次序。

幂级数¶

幂级数的收敛域¶

幂级数的收敛域满足阿贝尔定理：

定理（阿贝尔定理）如果幂级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\) 在 \(x = x_0\) 处收敛，那么对于任意 \(x\) 满足 \(|x| < |x_0|\)，幂级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\) 都都收敛；如果幂级数在 \(x = x_0\) 处发散，那么对于任意 \(x\) 满足 \(|x| > |x_0|\)，幂级数都发散。

证明.

假设幂级数幂级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\) 在 \(x = x_0\) 处收敛，那么：

\[ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n x_0^n = 0 \]

即 \(a_n x_0^n\) 有界，设 \(|a_n x_0^n| \leq M\)，那么对于任意 \(x\) 满足 \(|x| < |x_0|\)，有：

\[ |a_n x^n| = |a_n x_0^n| \left| \frac{x}{x_0} \right|^n \leq M \left| \frac{x}{x_0} \right|^n \]

又等比级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} M \left| \frac{x}{x_0} \right|^n\) 收敛，从而由正项级数的比较判别法，\(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\) 在 \(x\) 处绝对收敛。

对于定理的第二部分，使用反证法。假设存在某一点 \(x_1\) 满足 \(|x_1| > |x_0|\)，幂级数在该点收敛，根据已证得的结论，可得 \(x_0\) 处的幂级数也收敛，与题设矛盾。\(\blacksquare\)

推论如果幂级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\) 在某一点 \(x_0\) 处条件收敛，那么这个点只有可能是收敛域的边界点。

由阿贝尔定理，可得幂级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\) 的收敛域是一个以 \(x = 0\) 为中心的对称区间。对于区间的端点，需要单独讨论。将这个区间的半径称为收敛半径。

幂级数的收敛半径的计算，使用柯西-阿达玛公式：

定理对幂级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\)，设 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho\)，那么：

(1) 如果 \(\rho = 0\)，那么收敛半径 \(R = +\infty\)；

(2) 如果 \(\rho = +\infty\)，那么收敛半径 \(R = 0\)；

(3) 如果 \(0 < \rho < +\infty\)，那么收敛半径 \(R = \displaystyle \frac{1}{\rho}\)。

证明. 利用绝对值的比值判别法。

\[ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| = \rho |x| \]

当 \(|x| < \displaystyle \frac{1}{\rho}\) 时，级数绝对收敛；当 \(|x| > \displaystyle \frac{1}{\rho}\) 时，级数发散。当 \(|x| = \displaystyle \frac{1}{\rho}\) 时，无法判定，需要单独讨论。\(\blacksquare\)

柯西-阿达玛公式的根式形式：

定理对幂级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\)，设 \(\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho\)，那么：

(1) 如果 \(\rho = 0\)，那么收敛半径 \(R = +\infty\)；

(2) 如果 \(\rho = +\infty\)，那么收敛半径 \(R = 0\)；

(3) 如果 \(0 < \rho < +\infty\)，那么收敛半径 \(R = \displaystyle \frac{1}{\rho}\)。

证明与柯西-阿达玛公式的证明类似，利用绝对值的根值判别法。

幂级数的性质¶

四则运算性质：

若幂级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\) 和 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} b_n x^n\) 的收敛半径分别为 \(R_a\) 和 \(R_b\)，那么：

(0) 两个幂级数的四则运算所产生的幂级数的收敛半径：当 \(R_a \neq R_b\) 时，\(R = \min \{R_a, R_b\}\)；当 \(R_a = R_b\) 时，\(R \geq \min \{R_a, R_b\}\)；

(1) 幂级数的线性性质：\(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n \pm k \sum_{n = 0}^{+\infty} b_n x^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (a_n \pm k b_n) x^n\)；

(2) 两个幂级数的乘积等于它们的柯西乘积：\(\displaystyle \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n \right) \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} b_n x^n \right) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \dots + a_nb_0) x^n\)（画图法，副对角线）；

分析性质：

(1) 在收敛域内，和函数是连续函数；

(2) 幂级数可以逐项求导：\(\displaystyle \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n \right)' = \sum_{n = 1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}\)，收敛半径不变；

(3) 幂级数可以逐项求积分：\(\displaystyle \int \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n \right) dx = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + C\)，收敛域不变。

将函数展开为幂级数¶

定理（唯一性定理）设 \(S(x) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n\)，则 \(S(x)\) 在 \(x = 0\) 处的各阶导数满足：

\[ a_0 = S(0), \quad a_1 = S'(0), \dots , \quad a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}, \quad \dots \]

通过逐项求导比对系数即可得到上面的等式。这表明，幂级数的系数是唯一的，并且可以通过在展开点的各阶导数得到。

定理设 \(f(x)\) 在区间 \(|x - x_0| < R\) 上有任意阶导数，幂级数 \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n\) 在 \(|x - x_0| < R\) 上收敛，那么在该区间上：

\[ f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n \]

当且仅当：对任意 \(|\xi - x_0| < R\)：

\[ \lim_{n \to +\infty} \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} = 0 \]

求幂级数的和函数¶

主要是通过逐项微分、逐项积分和幂级数的运算性质，凑出熟知的几个幂级数展开。或者通过幂级数求导建立微分方程，再解微分方程。

熟知的幂级数展开：

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle \frac{1}{1 - x} &= \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n, \quad |x| < 1 \\ \\ \displaystyle \ln(1 + x) &= \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1 \\ \\ \displaystyle - \ln (1 - x) &= \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}, \quad -1 \leq x < 1 \\ \\ \displaystyle e^x &= \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R} \\ \\ \displaystyle \sin x &= \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}, \quad x \in \mathbb{R} \\ \\ \displaystyle (1 + x)^{\alpha} &= \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{\alpha(\alpha - 1)...(\alpha - n + 1)}{n!}x^n, \quad |x| < 1 \end{array} \]

凑展开式的若干工具：

(1.a) 幂级数的运算律：\(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{(n + \alpha)(n + \beta)} = \frac{1}{\alpha - \beta} \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n + \beta} + \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n + \alpha} \right)\)；

(1.b) 幂级数的运算律： \(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^{n \pm 1} = x^{\pm 1} \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^n\)；

(1.c) 加减有限项：\(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n + 1) x^{n + 1} = \sum_{n = 1}^{+\infty} f(n) x^{n} = \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^{n} - f(0) x^0\)；

(2) 幂级数的逐项微分：\(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} n f(n) x^{n-1} = \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^n \right)'\)；

(3) 幂级数的逐项积分：\(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f(n)}{n+1} x^{n+1} = \int \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^n \right) dx + C\)；

(4) 换元法：\(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^n = S(x)\)，则令 \(x = \varphi(t)\)，\(\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) \big(\varphi(t)\big)^n = S\big( \varphi(t) \big)\)，注意收敛域的变化。

先使用 (2) (3) 调整 \(f(n)\) 还是先调整 \(x\) 的指数：如果先调整指数后，能够让 (2) (3) 的右边直接得出，那么就先调整指数；否则，先调整 \(f(n)\)。

不得不提的一个公式：\((1 + x + x^2 + ... + x^n)(1 - x) = 1 - x^{n+1}\)。

不得不提的另一个公式：以任意函数 \(f(x)\) 构造奇函数或偶函数。奇函数：\(\displaystyle \frac{f(x) - f(-x)}{2}\)；偶函数：\(\displaystyle \frac{f(x) + f(-x)}{2}\)。

一个被搁置的问题：收敛域的确定。

使用幂级数求解部分数项级数¶

幂级数可以用来求解形如 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} f(n) a^{n}\) 的级数，设 \(S(x) = \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} f(n) x^{n}\)，那么 \(\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} f(n) a^{n} = S(a)\)。

这将求解部分数项级数的问题转化为求解幂级数的和函数的问题。

傅里叶级数¶

周期为 \(T\) 的周期函数 \(f(x)\) 对应的傅里叶级数为：

令 \(\omega = \displaystyle \frac{2\pi}{T}\)：

\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( a_n \cos \omega nx + b_n \sin \omega nx \right) \]

其中傅里叶系数：

\[ a_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \omega nx dx \]

\[ b_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \omega nx dx \]

在满足一定条件时，\(f(x)\) 的傅里叶级数可以收敛到 \(f(x)\)。

三角函数系¶

三角函数系

\[ 1, \quad \cos \omega x, \quad \sin \omega x, \quad \cos 2\omega x, \quad \sin 2\omega x, \quad \dots \]

是正交函数系，即：

\[ \int_{-T/2}^{T/2} \cos \omega nx \cos \omega mx dx = \begin{cases} 0, & n \neq m \\ \displaystyle \frac{T}{2}, & n = m \end{cases} \]

\[ \int_{-T/2}^{T/2} \sin \omega nx \sin \omega mx dx = \begin{cases} 0, & n \neq m \\ \displaystyle \frac{T}{2}, & n = m \end{cases} \]

\[ \int_{-T/2}^{T/2} \cos \omega nx \sin \omega mx dx = 0, \quad \text{for all } n, m \]

狄利克雷收敛定理¶

定理（狄利克雷收敛定理）如果 \(f(x)\) 是周期为 \(\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}\) 的周期函数，并且在一个周期（闭区间）内仅有有限个第一类间断点，那么 \(f(x)\) 的傅里叶级数在任意一点 \(x\) 处都收敛，并有：

\[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( a_n \cos \omega nx + b_n \sin \omega nx \right) = \begin{cases} f(x), & f(x) \text{continuous at } x \\ \displaystyle \frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}, & f(x) \text{discontinuous at } x \end{cases} \]

将函数展开为傅里叶级数¶

在 \((-\infty, +\infty)\) 上展开周期函数

计算傅里叶系数，根据狄利克雷收敛定理，得到傅里叶级数的和函数。

在有限区间上对完整周期进行展开

假设在区间 \(\displaystyle \left[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]\) 上对任意的 \(f(x)\) 进行展开，那么傅里叶系数：

\[ a_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \omega nx dx \]

\[ b_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \omega nx dx \]

由于周期函数的乘积仍然是周期函数，并且周期不会变大，因此，对于傅里叶系数 \(a_n, b_n\) 的计算，实际上可以在 \(f(x)\) 的任意一个完整的周期内进行。

根据狄利克雷收敛定理，处理周期端点和不连续点，得到傅里叶级数的和函数。

在周期的端点处，和函数 \(\displaystyle S(\pm \frac{T}{2}) = \frac{1}{2}\left[ f(-\frac{T}{2}^+) + f(+\frac{T}{2}^-) \right]\)。

奇函数的傅里叶级数中不含余弦项，即傅里叶系数 \(a_n = 0\)；

偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，即傅里叶系数 \(b_n = 0\)。

在有限区间上对半周期进行展开，展开为仅含正弦或余弦项的级数

展开为仅含正弦的级数，需要通过奇延拓将 \(f(x)\) 延拓为奇函数，然后在 \(\displaystyle \left[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]\) 上展开。

展开为仅含余弦的级数，需要通过偶延拓将 \(f(x)\) 延拓为偶函数，然后在 \(\displaystyle \left[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]\) 上展开。

此时狄利克雷收敛定理需要对奇延拓或偶延拓后的函数使用。

不得不提的一个结论：奇函数 \(\times\) 奇函数 \(=\) 偶函数；偶函数 \(\times\) 偶函数 \(=\) 偶函数；奇函数 \(\times\) 偶函数 \(=\) 奇函数。