标量场上的线积分（第一类曲线积分）
第一类曲线积分的定义
设 $C$ 是平面上以 $A, B$ 为端点的一条光滑曲线。$f(x, y)$ 是定义在曲线 $C$ 上的有界函数。
在曲线上任意取点 $A = M_0, M_1, M_2, \cdots, M_n = B$，将曲线 $C$分成 $n$ 段，记作 $\Delta s_1, \Delta s_2, \cdots, \Delta s_n$。
设 $(\xi_i, \eta_i)$ 是 $\Delta s_i$ 上的任意一点，$f(\xi_i, \eta_i)$ 是 $(\xi_i, \eta_i)$ 处的函数值。
记 $\lambda = \max \{ \Delta s_1, \Delta s_2, \cdots, \Delta s_n \}$，则以下的和式的极限称为函数 $f(x, y)$ 沿曲线 $C$ 从 $A$ 到 $B$ 的第一类曲线积分（如果极限存在）：
$$\int_C f(x, y) ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i
$$
第一类曲线积分的代数性质
第一类曲线积分具有和单积分相同的代数性质，即线性性、路径可加性和优势积分性质。第一类曲线积分也满足积分中值定理。
此外，第一类曲线积分不强调曲线的方向，即 $\displaystyle \int_C f(x, y) ds = \int_{-C} f(x, y) ds$。
当积分路径由参数方程给出，直接计算第一类曲线积分的方法
当曲线 $C$ 由参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ 给出时：
可以证明，弧长的增量 $\Delta s = \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + o(\Delta t)$。
从而 $ds = \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt$。
那么：
$\displaystyle \int_C f(x, y) ds = \int_{t_1}^{t_2} f \Big(\varphi(t), \psi(t) \Big) \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt$。
其中，$t_1, t_2$ 是参数 $t$ 的取值范围，从小到大。
向量场上的线积分（第二类曲线积分）
第二类曲线积分的定义
设 $C$ 是平面上以 $A, B$ 为端点的一条光滑曲线，并指定从 $A$ 到 $B$ 的曲线方向。
在曲线 $C$ 上取一点 $M(x, y)$。
设 $M$ 处的向量场为 $\mathbf{F}(M) = \begin{bmatrix} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{bmatrix}$。
设 $\mathbf{e}_c(M)$ 是曲线 $C$ 在点 $M$ 处的单位切向量，即 $\mathbf{e}_c(M) = \begin{bmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \end{bmatrix}$，其中 $\alpha$、$\beta$ 是曲线 $C$ 在点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴、$y$ 轴正方向的夹角。
那么向量场 $\mathbf{F}(M)$ 沿曲线 $C$ 从 $A$ 到 $B$ 的第二类曲线积分，被定义为以下的第一类曲线积分：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \int_C \mathbf{F}(M) \cdot \mathbf{e}_c(M) ds
&= \displaystyle \int_C \left( P \cos \alpha + Q \cos \beta \right) ds \\
&= \displaystyle \int_C P dx + Q dy
\end{array}
$$
将 $\mathbf{e}_c(M) ds$ 记作有向线元 $d\mathbf{s}$，第二类曲线积分可以写成 $\displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$。
第二类曲线积分的代数性质
第一类曲线积分具有和单积分相同的代数性质，即线性性、路径可加性和优势积分性质。第二类曲线积分也满足积分中值定理。
第二类曲线积分强调曲线的方向，即 $\displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = -\int_{-C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$。
当积分路径由参数方程给出，直接计算第二类曲线积分的方法
设曲线 $C$ 由参数方程 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ 给出，曲线两端点分别为 $A(\varphi(t_1), \psi(t_1))$、$B(\varphi(t_2), \psi(t_2))$，那么：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \int_C P \boxed{dx} + Q \boxed{dy}
&= \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} P \Big(\varphi(t), \psi(t) \Big) \boxed{\varphi'(t) dt} + \int_{t_1}^{t_2} Q \Big(\varphi(t), \psi(t) \Big) \boxed{\psi'(t) dt} \\
&= \displaystyle \int_{t_1}^{t_2} \left[ P \Big(\varphi(t), \psi(t) \Big) \varphi'(t) + Q \Big(\varphi(t), \psi(t) \Big) \psi'(t) \right] dt
\end{array}
$$
证明：分别证明 $\displaystyle \int_C P dx = \int_{t_1}^{t_2} P \Big(\varphi(t), \psi(t) \Big) \varphi'(t) dt$ 和 $\displaystyle \int_C Q dy = \int_{t_1}^{t_2} Q \Big(\varphi(t), \psi(t) \Big) \psi'(t) dt$。使用一元定积分的定义和拉格朗日中值定理。需要对 $t_1, t_2$ 大小关系进行讨论，但会得到相同的结果。具体证明此处从略。
格林公式
设闭区域 $D$ 由分段光滑的简单曲线 $C$ 围成，函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有：
$$\iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA = \oint_{C^+} P dx + Q dy
$$
其中，$C^+$ 是 $D$ 的正向边界曲线。
正向边界是指，当观察者沿着曲线 $C$ 的方向，区域 $D$ 始终在左侧。格林公式的情况是，曲线积分取曲线 $C$ 逆时针方向。
光滑曲线是指，曲线 $C$ 在其上的每一点都有切线，并且切线方向连续变化。即 $x'(t)$、$y'(t)$ 存在且连续，并且不同时为 $0$。
分段光滑曲线是指，曲线 $C$ 由有限条光滑曲线组成（不要求连接处的切线方向一致）。
简单曲线是指，曲线 $C$ 除了端点处，不与自身相交。
平面上第二类曲线积分的路径无关性
在单连通区域 $D$ 上，可以证明以下四个命题等价：
- 向量场 $\mathbf{F} = \begin{bmatrix} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{bmatrix}$ 是保守场，即 $\displaystyle P dx + Q dy$ 是某个函数的全微分；
- $\begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{vmatrix} = 0$，即 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$；
- 沿 $D$ 内任意逐段光滑闭曲线 $C$，有 $\displaystyle \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = 0$；
- 沿 $D$ 内任意逐段光滑的曲线 $L_{AB}$，有 $\displaystyle \int_{L_{AB}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$ 与路径无关，只与起点 $A$ 和终点 $B$ 有关。
提出线积分的基本定理：如果向量场 $\mathbf{F} = \begin{bmatrix} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{bmatrix}$ 是保守场，即存在标量场 $f(x, y)$，使得 $\nabla f = \mathbf{F}$，设曲线 $C$ 由点 $A$ 到点 $B$，那么：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} &= \displaystyle \int_C P dx + Q dy \\
&= \displaystyle \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{s} & \text{(if this equal holds)} \\
&= \displaystyle f(B) - f(A)
\end{array}
$$
空间中第二类曲线积分的路径无关性
有关平面上第二类曲线积分的路径无关性的结论，可以直接推广到空间中的情况。
在单连通区域 $\Omega$ 上，以下四个命题等价：
- 向量场 $\mathbf{F} = \begin{bmatrix} P(x, y, z) \\ Q(x, y, z) \\ R(x, y, z) \end{bmatrix}$ 是保守场，即存在标量场 $f(x, y, z)$，使得 $\nabla f = \mathbf{F}$；
- 向量场 $\mathbf{F} = \begin{bmatrix} P(x, y, z) \\ Q(x, y, z) \\ R(x, y, z) \end{bmatrix}$ 的旋度为零，即 $\nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{0}$；
- 沿 $\Omega$ 内沿任意逐段光滑闭曲线 $C$，有 $\displaystyle \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = 0$；
- 沿 $\Omega$ 内任意逐段光滑的曲线 $L_{AB}$，有 $\displaystyle \int_{L_{AB}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}$ 与路径无关，只与起点 $A$ 和终点 $B$ 有关。
应用：使用格林公式计算平面参数曲线围成的面积
由格林公式 $\displaystyle \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA = \oint_C P dx + Q dy$，只需要构造一组合适的 $P$、$Q$，使得 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$，即可计算曲线围成的面积。
我们选取 $\begin{cases} P = 0 \\ Q = x \end{cases}$，则 $\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$，即满足条件。
或者选取 $\begin{cases} P = -y \\ Q = 0 \end{cases}$，同样满足条件。
从而，$\displaystyle A = \oint_C x dy = -\oint_C y dx = \frac{1}{2} \oint_C (x dy - y dx)$。
具体选取何种形式取决于计算的方便程度。
标量场上的面积分（第一类曲面积分）
设 $S$ 是空间内的一块光滑曲面。而 $f(x, y, z)$ 是定义在曲面 $S$ 上的有界函数。
用曲线网将 $S$ 任意分为 $n$ 个小面元，记作 $\Delta S_1, \Delta S_2, \cdots, \Delta S_n$。
设 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ 是 $\Delta S_i$ 上的任意一点，$f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ 是 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ 处的函数值。
记 $\lambda = \max \{ \Delta S_1, \Delta S_2, \cdots, \Delta S_n \}$，则以下的和式的极限称为函数 $f(x, y, z)$ 沿曲面 $S$ 的第一类曲面积分（如果极限存在）：
$$\int_S f(x, y, z) dS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i
$$
第一类曲面积分的代数性质
第一类曲面积分具有和单积分相同的代数性质，即线性性、积分区域可加性和优势积分性质。第一类曲面积分也满足积分中值定理。
第一类曲面积分不强调曲面的定向，即 $\displaystyle \int_S f(x, y, z) dS = \int_{-S} f(x, y, z) dS$。
如果积分曲面由直角坐标方程给出，直接计算第一类曲面积分的方法
设曲面 $S$ 由方程 $F(x, y, z) = 0$ 给出，我们尝试将曲面投影到 $xOy$ 平面上，对曲面积分进行计算。
苏德矿 《微积分（下）》，第 10.4.2 节，图 9.48，图 9.49。
如图所示，有 $d\sigma = |\cos \gamma| dS$。
而曲面上任意一点 $(x, y, z)$ 处，有 $\displaystyle \cos \gamma = \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{k}}{|\mathbf{n}| |\mathbf{k}|}$。
而 $\mathbf{n} = \nabla F = \begin{bmatrix} F'_x \\ F'_y \\ F'_z \end{bmatrix}$，$\mathbf{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$，从而：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle dS &=
\displaystyle \frac{1}{|\cos \gamma|} d\sigma \\
&= \displaystyle \frac{\sqrt{(F'_x)^2 + (F'_y)^2 + (F'_z)^2}}{|F'_z|} d\sigma \\
&= \displaystyle \frac{\sqrt{(F'_x)^2 + (F'_y)^2 + (F'_z)^2}}{|F'_z|} dxdy
\end{array}
$$
从而：
$$\int_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, z) \frac{\sqrt{(F'_x)^2 + (F'_y)^2 + (F'_z)^2}}{|F'_z|} dxdy
$$
特别地，如果曲面 $S$ 由 $z = z(x, y)$ 给出，那么 $F'_z = 1$，从而：
$$\int_S f(x, y, z) dS = \iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2} dxdy
$$
向量场上的面积分（第二类曲面积分）
第二类曲面积分的定义
设 $S$ 是空间内的一块光滑曲面，并指定曲面 $S$ 的定向。
在曲面 $S$ 上取一点 $M(x, y, z)$。
设 $M$ 处的向量场为 $\mathbf{F}(M) = \begin{bmatrix} P(x, y, z) \\ Q(x, y, z) \\ R(x, y, z) \end{bmatrix}$。
设 $\mathbf{n}_c(M)$ 是曲面 $S$ 在点 $M$ 处的单位法向量，即 $\mathbf{n}_c(M) = \begin{bmatrix} \cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{bmatrix}$，其中 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 是曲面 $S$ 在点 $M$ 处的法线与 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴正方向的夹角。
那么向量场 $\mathbf{F}(M)$ 对定向曲面 $S$ 的第二类曲面积分，被定义为以下的第一类曲面积分：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \iint_S \mathbf{F}(M) \cdot \mathbf{n}_c(M) dS
&= \displaystyle \iint_S \left( P \cos \alpha + Q \cos \beta + R \cos \gamma \right) dS \\
&:= \displaystyle \iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy
\end{array}
$$
将 $\mathbf{n}_c(M) dS$ 记作有向面元 $d\mathbf{S}$，第二类曲面积分可以写成 $\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$。
$d\mathbf{S}$ 在三个坐标面上的投影为 $\begin{cases}\mathbf{i} \cdot d\mathbf{S} = \cos \alpha dS = dy dz \\ \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S} = \cos \beta dS = dz dx \\ \mathbf{k} \cdot d\mathbf{S} = \cos \gamma dS = dx dy \end{cases}$。
采用这里的 $dy dz$、$dz dx$、$dx dy$ 作为面积微元的记法时，需要注意此处是考虑方向的，即 $dz dx = -dx dy$。
第二类曲面积分的代数性质
第二类曲面积分具有和单积分相同的代数性质，即线性性、积分区域可加性和优势积分性质。第二类曲面积分也满足积分中值定理。
第二类曲面积分强调曲面的方向，即 $\displaystyle \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = -\iint_{-S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$。
如果积分曲面由直角坐标方程给出，直接计算第二类曲面积分的方法
根据定义
$$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S P dy dz + Q dz dx + R dx dy
$$
我们考虑其中一项 $\displaystyle \iint_S R dx dy$ 的计算。
将曲面 $S$ 投影到 $xOy$ 平面上，得到投影区域 $D_{xy}$。
在这个积分区域 $D$ 上的面积元 $d\sigma$ 与 $dS$ 之间的关系是 $d\sigma = dS |\cos \gamma|$。
$$\begin{array}{rl}
dx dy &= dS \cos \gamma \\
&= \displaystyle d\sigma \frac{\cos \gamma}{|\cos \gamma|} \\
&= \displaystyle \text{sgn}(\frac{\pi}{2} - \gamma) d\sigma
\end{array}
$$
从而：
$$\iint_S R(x, y, z) dx dy = \pm \iint_{D_{xy}} R\Big(x, y, z(x, y)\Big) d\sigma
$$
其中，$\pm$ 取决于曲面定向 $\mathbf{n}$ 在 $z$ 轴正方向的投影的方向，若投影为正方向，则取正号；否则取负号。
高斯公式
设空间区域 $V$ 由分片光滑的闭曲面 $S$ 围成，函数 $P(x, y, z)$、$Q(x, y, z)$、$R(x, y, z)$ 在 $V$ 上具有一阶连续偏导数，则有：
$$\iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV = \oiint_{S^+} P dy dz + Q dz dx + R dx dy
$$
其中，$S^+$ 是 $V$ 的外侧曲面。
定义 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$ 为 $\mathbf{F} = \begin{bmatrix} P(x, y, z) \\ Q(x, y, z) \\ R(x, y, z) \end{bmatrix}$ 的散度，记作 $\nabla \cdot \mathbf{F}$，那么高斯公式可以写成：
$$\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV = \oiint_{S^+} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
$$
散度的物理意义是，某一点的场强的流出量与流入量之差。
斯托克斯公式
设分片光滑的闭曲面 $S$ 的边界曲线 $C$ 为分段光滑曲线，函数 $P(x, y, z)$、$Q(x, y, z)$、$R(x, y, z)$ 在 $V$ 上具有一阶连续偏导数，则有：
$$\iint_S \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy = \oint_C P dx + Q dy + R dz
$$
其中，$S$ 的定向与曲线 $C$ 的方向满足右手法则。
其行列式形式为：
$$\iint_S \begin{vmatrix} dy dz & dz dx & dx dy \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \oint_C P dx + Q dy + R dz
$$
定义 $\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$ 为 $\mathbf{F} = \begin{bmatrix} P(x, y, z) \\ Q(x, y, z) \\ R(x, y, z) \end{bmatrix}$ 的旋度，记作 $\nabla \times \mathbf{F}$，那么斯托克斯公式可以写成：
$$\iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}
$$