数学速查备忘

本文收录在实际练习中遇到的不成体系的数学技巧或是疑难问题的解答，方便日后查阅。

极限

Q127

\(\displaystyle (1 + x)^{\textstyle \frac{1}{x}}\) 的导数怎么求？——对数求导法；或将其看作二元函数 \(z = a^b\) 的复合函数，其中 \(a = 1 + x\)，\(\displaystyle b = \frac{1}{x}\)，使用链式法则求导。

Q129

对指数函数需要注意，指数趋于 \(-\infty\) 时函数值不同于指数趋于 \(+\infty\) 时的函数值，极限可能不存在。

Q134

泰勒展开需要注意精度，要把所有需要用到的次项展开出来。

Q138

\(x \to 0\)，\((1 + x)^{x^2} - 1\) 可以反向利用 \(\ln(1 + x) \sim x\)，得到 \((1 + x)^{x^2} - 1 \sim \ln \big[1 + ((1 + x)^{x^2} - 1)\big] = \ln \big[(1 + x)^{x^2}\big]\)，从而处理掉指数上的 \(x^2\)。

直接使用泰勒展开求导比较麻烦。

导数与微分

Q156

如何求解方程组 \(\begin{cases} \ln y \cdot y^x = 1 & (1) \\ x = y^x & (2)\end{cases}\)

由 (1) 可得 \(\displaystyle x = \log_y \frac{1}{\ln y} = \frac{\ln \frac{1}{\ln y}}{\ln y}\)；

(2) 代入 (1) 化简，可得 \(\displaystyle x = \frac{1}{\ln y}\)；

对比上述两式，可得 \(\displaystyle \ln \frac{1}{\ln y} = 1\)，即 \(\displaystyle \frac{1}{\ln y} = e\)。

从而 \(x = e\)；\(\displaystyle y = e^{\frac{1}{e}}\)。

作为选择题还是直接代入选项验证比较快。

Q157

如何证明命题？按下面的技巧使用拉格朗日中值定理将 \(f(x)\) 项转为 \(f'(\xi)\) 项：

已知 \(f(0) = 0\)，那么运用拉格朗日中值定理，有 \(f(x) = xf'(\xi)\)，其中 \(\xi \in (0, x)\)。

一元函数的积分

Q199

存在原函数、可积 不是一个概念。

\(f(x)\) 存在原函数，是指在定义区间上，\(f(x)\) 是某个函数 \(F(x)\) 的导数，即 \(F'(x) = f(x)\)。

从而一个函数的原函数一定可导。

\(f(x)\) 可积，是指 \(f(x)\) 在定义区间上的定积分存在。

\(f(x)\) 在闭区间上可积的三个充分条件：

1. 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积；
2. 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界，并且仅存在有限个间断点，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积；
3. 若 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上单调，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上可积。

另外，如果区间 \([a, b]\) 上 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 只有有限个点的函数值不同，那么定积分 \(\displaystyle \int_a^b f(x) dx = \int_a^b g(x) dx\)。

Q210

定积分的物理应用之液体的静压力。

按深度累加压力：\(\displaystyle F = \int_{h_1}^{h_2} \rho g h S dh\)。

ODE

Q76

如果函数 \(f(x)\) 连续，那么 \(\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} (f(x + \Delta x) - f(x)) = 0\)。

利用到函数连续的一种等价表示：\(\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} f(x + \Delta x) = f(x)\)。

Q77

微分方程的解中的 \(\displaystyle \int f(x) dx\) 可以写作变限积分的形式 \(\displaystyle \int_0^x f(t) dt + C\)，从而便于利用洛必达法则求极限。

处理 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \int_0^x f(t) e^{at} dt \right) e^{-ax}\)：\(e^{-ax}\) 实际上可以看作分母，使用洛必达法则消去变上限积分。

Q90

错解：在 \(u = 0\) 处，变换 \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u} + \frac{\partial f}{\partial v} = (u + v)e^v\) 为关于 \(\varphi(u) = f(u, v)\) 的微分方程 \(\varphi' + (v - 1)e^v = (0 + v) e^v\)，求解出 \(\varphi(u)\) 通解，再代入 \(f(0, v)\) 的条件求解出 \(f(u, v)\)。

这样虽然能够巧合地求解出正确的答案，但是并不是正确的方法。原因就是这个方程求解出的结果是需要满足 \(u = 0\) 的条件的，可能有项恰好因为 \(u = 0\) 而消失。

Q221

问 \(y'' - 2y' + 5y = e^x \cos 2x\) 的特解的形式。

难点在于判定 \(y^* = e^x x (A \cos 2x + B \sin 2x)\) 中 \(A\)、\(B\) 的取值是否非零。

可以将特解用两个通解的基表示出来，即 \(y^* = x (Ay_1 + By_2)\)，其中，\(y_1 = e^x \cos 2x\)，\(y_2 = e^x \sin 2x\)。然后再代入原方程。

这样做相比直接代入简单的原因是，在代入原方程时，两个通解的基必然能够使用原方程本身消去一部分。

多元函数的微分

Q226

关于二元函数的极限 \(\displaystyle \lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{P_m(x, y)}{Q_n(x, y)}\)，其中 \(P_m(x, y)\) 和 \(Q_n(x, y)\) 是 \(x\)、\(y\) 的 \(m\) 次和 \(n\) 次有理函数。

当分子次数大于分母，使用下面的方法拆分并放缩，极限为 \(0\)：

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle \frac{x^2y + y^4}{x^2 + y^2} &\leq \displaystyle \frac{x^2|y| + y^4}{x^2 + y^2} \\ &= \displaystyle \frac{(x^2 + y^2)|y| - y^2 |y| + y^2(x^2 + y^2) - x^2y^2}{x^2 + y^2} \\ &\leq \displaystyle \frac{(x^2 + y^2)|y| + y^2(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} \\ &= \displaystyle |y| + y^2 \to 0 \end{array} \]

另一个简单的例子：

\[ \frac{x^3}{x^2 + y^2} \leq \frac{|x|(x^2 + y^2) - |x|y^2}{x^2 + y^2} \leq |x| \to 0 \]

当分子次数小于等于分母，极限往往不存在，通过设 \(y = kx\) 和 \(y = kx^n\) 可以验证不同路径的极限不同。

Q233

在某一点处：

偏导连续 \(\subset\) 可微 \(\subset\) 偏导均存在。

连续可能不存在偏导；存在偏导也可能不连续。

\(g(x) = f'_x(x, 0)\) 和 \(h(y) = f'_y(0, y)\) 连续，\(f(x, y)\) 可能不可微。反例 \(f(x, y) = \begin{cases} xy, & xy \neq 0 \\ 0, & xy = 0\end{cases}\)。

\(f(x, y)\) 可微，\(g(x)\) 和 \(h(y)\) 也可能不连续。反例 \(f(x, y) = \begin{cases} \displaystyle (x^2 + y^2)\sin \frac{1}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0)\end{cases}\)。

多元函数的积分

Q117

\[ \int_0^t y e^{ty^2} dy = \int_0^t \frac{1}{2t} e^{ty^2} d(ty^2) = \frac{1}{2t} \int_0^t e^{ty^2} d(ty^2) \]

在这个积分中，被积函数是关于 \(y\) 的（或者说在这个积分式中，自由的变元是 \(y\)），而 \(t\) 只是一个可以被看作常数的参数。因此可以提出去。等价的写法更加易于理解：

\[ \int_0^t y e^{ty^2} dy = \frac{1}{2t} \int_0^t 2t ye^{ty^2} dy = \frac{1}{2t} \int_0^t e^{ty^2} d(ty^2) \]

线性代数

Q297

若 \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}\)，求 \(A\)。

矩阵 \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\) 不可逆，则不能使用 \(\displaystyle B^{-1} = \frac{1}{\det B} B^{\star}\) 的方法求解逆矩阵（这样得到的矩阵实际上与 \(B\) 的乘积是 \(O\)）。

Q335

已知实对称矩阵的两个特征向量 \(\xi_1, \xi_2\)，求正交矩阵 \(Q\) 使得 \(Q^{-1}AQ = \Lambda\)，需要注意给出的两个特征向量不一定是单位向量，也不一定是正交的。

Q354

\(A = \begin{bmatrix} i & i \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)，\(r(A) = 1\)，\(r(A^T) = 1\)，而 \(A^T A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)，\(r(A^T A) = 0\)。

\(r(A) = r(A^T) = r(A^T A)\) 这个性质在复数域上不一定成立。但是问题只考虑实数域上的情况。（虽然没有特别提及）

在实数域上，由于 \(r(A) = r(A^T) = r(A^T A)\)，从而若 \(A^T A = O\)，则 \(r(A) = 0\)，即 \(A = O\)。

关于零矩阵：

• \(AA = O\) \(\nRightarrow\) \(A = O\)。反例：\(\begin{bmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)。
• \(AB = O\) \(\nRightarrow\) \(A = O\) 或 \(B = O\)。这是上面的弱化版本。
• \(A^T A = O\) \(\Rightarrow\) \(A = O\)，在实数域上成立，复数域上不成立。

Q357

已知 \(A^{-1}\) 求 \(\det A\) 的某些代数余子式之和，应当利用 \(A^{\star} A = \det A I\) 的性质直接求出伴随矩阵 \(A^{\star}\)。否则计算量过大。

Q404

等价的向量组不一定有相同个数的向量。

Q411

如果 \(v\) 是 \(A\) 的特征向量，那么 \(v\) 也是 \(A^2\) 的特征向量；但反之不一定成立。其余结论同理。

Q417

若 \(A\) 可逆，则 \(AB \sim BA\)，因为 \(A^{-1}(AB)A = BA\)。

此外要注意，已知 \(A \sim B\) 问 \(f(A) \sim f(B)\) 是否成立，应当首先考虑对 \(P^{-1}AP = B\) 两边同时应用 \(f\) 函数，因为相似的矩阵所使用的相似变换 \(P\) 不一定是相同的。

其他

函数与导函数的极限

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = C\) 推不出 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 0\)。

反例：函数 \(\displaystyle f(x) = \frac{\sin (x^2)}{x}\)， \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\)，但 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = 2\cos(x^2) - \frac{\sin(x^2)}{x^2}\) 不存在。

直观理解：函数 \(f(x)\) 在趋于无穷远处振荡收敛于 \(C\)，但是振荡的频率越来越快，因此导数不趋于 \(0\)。函数在无穷远处振荡，振荡的振幅和振荡的速度不具有必然的联系。

Q72 展示了一种 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f'(x) = C\) 但 \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f''(x) \neq 0\) 的情况。