使用一元函数定积分求面积、体积、周长、表面积

计算函数 $f(x)$ 所围成的面积

等价于计算在区域上的二重积分 $\displaystyle \iint_D 1 dA$。

根据情况决定积分顺序计算二重积分即可。

计算函数 $f(x)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所围成的体积

等价于计算在区域上的三重积分 $\displaystyle \iiint_V 1 dV$。先对横截面积分再对高度积分。

$$\begin{array}{rl} \displaystyle V &= \displaystyle \iiint_V 1 dV \\ &= \displaystyle \int_a^b \iint_{D_x} 1 dA dx \\ &= \displaystyle \int_a^b \pi f(x)^2 dx \end{array} $$

当曲线由极坐标方程 $r = r(\theta)$ 给出时，通过计算 $\displaystyle \int_a^b \pi y^2 dx$ 可以得到体积。其中，$y = r(\theta) \sin \theta$，$dx = d\big(r(\theta) \cos \theta\big)$。

计算平面曲线 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ 的弧长

等价于计算第一类曲线积分 $\displaystyle \int_L 1 ds$。

$$\begin{array}{rl} \displaystyle L &= \displaystyle \int_L 1 ds \\ &= \displaystyle \int_{t1}^{t2} \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} dt \end{array} $$

当曲线由 $y = f(x)$ 给出时，弧长的微分 $\displaystyle ds = \sqrt{1 + (f'(x))^2}dx$。

当曲线由 $r = r(\theta)$ 给出时，弧长的微分 $\displaystyle ds = \sqrt{(r(\theta))^2 + (r'(\theta))^2}d\theta$。这个公式通过 $\displaystyle ds = \sqrt{d\big(r(\theta) \cos \theta \big)^2 + d\big(r(\theta) \sin \theta \big)^2}$ 推导得到。

对弧长微分的推导

曲线弧长的定义：设 $A$、$B$ 为平面曲线 $\Gamma$ 的两端点，在 $\Gamma$ 上按顺序任意取点 $M_0 = A, M_1, M_2, \cdots, M_n = B$，连接 $M_0, M_1, M_2, \cdots, M_n$，得到折线 $M_0M_1M_2\cdots M_n$。

记 $\displaystyle \lambda = \max_{1 \leq i \leq n} \overline{M_{i-1} M_i}$，$\displaystyle s = \sum_{i=1}^n \overline{M_{i-1} M_i}$，如果 $\displaystyle \lim_{\lambda \to 0} s$ 存在，并且与 $M_i$ 的选取无关，则称此极限为曲线 $\Gamma$ 的弧长。

计算当参数 $t$ 增加 $\Delta t$ 时，曲线上的两点之间的距离 $\Delta s$。

当 $\Delta t \to 0$，$\Delta s \approx \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$（来自曲线弧长的定义）。

而

$$\begin{array}{rl} \displaystyle \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} &= \displaystyle \sqrt{(\varphi(t + \Delta t) - \varphi(t))^2 + (\psi(t + \Delta t) - \psi(t))^2} \\ &= \displaystyle \sqrt{(\varphi'(\xi) \Delta t)^2 + (\psi'(\eta) \Delta t)^2} \qquad (\xi, \eta \in (t, t + \Delta t)) \\ &= \displaystyle \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2} \Delta t \\ &= \displaystyle \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \Big(-\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2}\Big)\Delta t \end{array} $$

现证明 $\Big(-\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2}\Big)\Delta t$ 是 $\omicron(\Delta t)$：

$$\begin{array}{rl} & \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Big(-\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2}\Big)\Delta t}{\Delta t} \\ =& \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \Big( - \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2}\Big) \\ =& \displaystyle -\lim_{\Delta t \to 0} \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \lim_{\Delta t \to 0} \sqrt{(\varphi'(\xi))^2 + (\psi'(\eta))^2} \\ =& \displaystyle -\sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} + \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \\ =& \displaystyle 0 \end{array} $$

从而 $\displaystyle \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \omicron(\Delta t)$。也即 $\displaystyle \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 的微分形式为 $\displaystyle \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt$。

从而 $\displaystyle ds = \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt$。

计算平面曲线 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得立体的表面积

这个使用第二类曲线积分然后使用高斯定理进行计算会比较复杂。

这个问题的答案是：

$$\begin{array}{rl} \displaystyle S &= \displaystyle \int_L 2\pi y ds \\ &= \displaystyle \int_{t1}^{t2} 2\pi \psi(t) \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt \end{array} $$

直观解释：对每一小段曲线 $ds$ 计算其绕 $x$ 轴旋转一周所得周长，然后将所有小段曲线的周长累加起来。

推导：使用微元法，计算 $[t, t + \Delta t]$ 小段上的曲线绕 $x$ 轴旋转一周所得的小圆台的侧面积 $\Delta S$。

与计算平面曲线的长度时一致，当 $\Delta t \to 0$ 时，可以将原本是小段曲线的圆台母线 $\Delta s$ 近似为长为 $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$ 的直线，从而侧面积

$$\begin{array}{rl} \displaystyle \Delta S &\approx \displaystyle \pi (R + r) l \\ &= \displaystyle \pi (2y + \Delta y) \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \\ &= \pi (2y + \Delta y) \Big( \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \omicron(\Delta t) \Big) \\ &= 2 \pi y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \pi \Delta y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \omicron(\Delta t) \\ \end{array} $$

又

$$\begin{array}{rl} &\displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t}{\Delta t} \\ =& \displaystyle \lim_{\Delta t \to 0} \psi'(\eta) \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2}\Delta t \qquad (\eta \in (t, t + \Delta t)) \\ =& \displaystyle 0 \end{array} $$

从而，$\displaystyle \Delta S = 2\pi y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} \Delta t + \omicron(\Delta t)$，即

$$dS = 2\pi y \sqrt{(\varphi'(t))^2 + (\psi'(t))^2} dt = 2\pi y ds $$

为什么 $\displaystyle S \neq \int_{a}^{b} 2\pi y dx$？

在使用微元法时，所得到的微元一定要是待求量的微分。$\displaystyle \int_{a}^{b} 2\pi y dx$ 的想法是将周长累加起来，最后得到表面积，然而这个直观的想法是错误的，因为 $2\pi y dx$ 不是表面积的微元。