值得记录的一元函数积分

! 本页正在转型为值得记录的积分的计算方法集合。

初等函数导数表¶

下面列出了常见初等函数的导数。熟知初等函数的导数有助于凑微分，或直接找到某些形式的函数的原函数。

基本三角函数的积分¶

\(\displaystyle \int \sin x dx\)、\(\displaystyle \int \cos x dx\)¶

参照初等函数导数表，可以直接得到这两个函数的不定积分：

\[ \boxed{\int \sin x dx = -\cos x + C} \]

\[ \boxed{\int \cos x dx = \sin x + C} \]

\(\displaystyle \int \tan x dx\)、\(\displaystyle \int \cot x dx\)¶

通过 凑微分 计算 \(\displaystyle \int \tan x dx\)。

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \tan x dx} &= \displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos x} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{-d(\cos x)}{\cos x} \\ &= \boxed{\displaystyle -\ln |\cos x| + C} \end{array} \]

通过 凑微分 计算 \(\displaystyle \int \cot x dx\)。

不过更为重要的思想是利用 诱导公式 计算与之相差一个常数的积分，这里使用这种方法进行计算。

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \cot x dx} &= \displaystyle \int \tan \left( \frac{\pi}{2} - x\right) dx \\ &= \displaystyle - \int \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right) d\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \displaystyle \ln |\cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right)| + C \\ &= \boxed{\displaystyle \ln |\sin x| + C} \end{array} \]

\(\displaystyle \int \sec x dx\)、\(\displaystyle \int \csc x dx\)¶

先计算 \(\displaystyle \int \csc x dx\)，需要用到的技巧有：三角恒等变换、凑微分。

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \csc x dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{\sin x} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} d\tan \frac{x}{2} \\ &= \displaystyle \ln |\tan \frac{x}{2}| + C \\ &= \displaystyle \ln |\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}| + C \\ &= \displaystyle \ln |\frac{\frac{1}{2}(1 - \cos x)}{\frac{1}{2}(\sin x)}| + C \\ &= \displaystyle \boxed{\ln |\csc x - \cot x| + C} \end{array} \]

或者另一种主要运用拆项裂项的方法：

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \csc x dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{\sin x} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx \\ &= \displaystyle -\int \frac{d \cos x}{1 - \cos^2 x} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 - \cos x}\right)d\cos x \\ &= \displaystyle -\frac{1}{2} \left(\int \frac{d\cos x}{1 + \cos x} + \int \frac{d\cos x}{1 - \cos x}\right) \\ &= \displaystyle -\frac{1}{2} \left(\ln |1 + \cos x| - \ln |1 - \cos x|\right) + C \\ &= \displaystyle \ln \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} + C \\ &= ... \\ &= \displaystyle \boxed{\ln |\csc x - \cot x| + C} \end{array} \]

然后使用诱导公式计算 \(\displaystyle \int \sec x dx\)。

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \sec x dx} &= \displaystyle \int \csc \left(\frac{\pi}{2} - x\right)dx \\ &= \displaystyle -\int \csc \left(\frac{\pi}{2} - x\right) d\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \displaystyle -\ln |\csc \left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \cot \left(\frac{\pi}{2} - x\right)| + C \\ &= \boxed {\displaystyle -\ln |\sec x - \tan x| + C} \end{array} \]

复杂三角函数的积分¶

\(\displaystyle \int \sin^n x dx\)、\(\displaystyle \int \cos^n x dx\)¶

运用分部积分法迭代地计算 \(\displaystyle \int \sin^n x dx\)。

\[ \begin{array}{rl} \boxed{I(n)} = \displaystyle \int \sin^n x dx &= \displaystyle -\int \sin^{n-1} x d\cos x \\ &= \displaystyle -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\ &= \displaystyle - \sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) dx \\ &= \boxed{\displaystyle -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \big[I(n-2) - I(n)\big]} \end{array} \]

\(\displaystyle \int \cos^n x dx\) 的计算方法与之类似，或者在两者都需要求出的情况下使用诱导公式和凑微分得出。

\(\displaystyle \int \frac{1}{1 + \sin^2 x} dx\)¶

上下同乘 \(\sec^2 x\)，凑出 \(\tan x\) 的微分：

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{1 + \sin^2 x} dx} &= \displaystyle \int \frac{\sec^2 x}{\sec^2 x + \tan^2 x} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{d \tan x}{1 + 2\tan^2 x} \\ &= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan x) + C \end{array} \]

有理函数的积分¶

虽然有理函数的不定积分有通用解法，然而其计算过程往往较为复杂，因此在这里列出一些常见的有理函数的不定积分的计算方法。

\(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx\) （\(a > 0\)）¶

使用凑微分法计算这个积分（观察到被积函数的形似 \(\arcsin x\) 的导函数）：

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx} &= \displaystyle \frac{1}{a\sqrt{1 - \textstyle (\frac{x}{a})^2}} ad\frac{x}{a} \\ &= \boxed{\displaystyle \arcsin \frac{x}{a} + C} \end{array} \]

Note

对于被积函数包含 \(\sqrt{a^2 - x^2}\) 的情况，可以考虑使用三角代换，令 \(x = a \sin t\)，从而消去根式。

在使用三角代换时，可以画出代换的角对应的直角三角形，从而在回代时快速地确定所需要的三角函数值。

\(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}dx\) （\(a > 0\)）¶

使用 三角换元法，令 \(x = a \tan t\)：

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{a \sqrt{1 + \tan^2 t}} a \sec^2 t dt \\ &= \displaystyle \int |\sec t| dt \\ &= \displaystyle \big|-\ln |\sec t - \tan t|\big| + C \\ &= \boxed{\displaystyle \big|\ln |\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} - \frac{x}{a}|\big| + C} \end{array} \]

Note

对于被积函数包含 \(\sqrt{a^2 + x^2}\) 的情况，可以考虑使用三角代换，令 \(x = a \tan t\)，从而消去根式。

\(\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}dx\) （\(a > 0\)）¶

使用 三角换元法，令 \(x = a \sec t\)：

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{a \sqrt{\sec^2 t - 1}} a \sec t \tan t dt \\ &= \displaystyle \int \frac{\tan t}{|\tan t|}\sec t dt \\ &= \displaystyle \big|-\ln |\sec t - \tan t|\big| + C \\ &= \boxed{\displaystyle \big|\ln |\frac{x}{a} - \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a}|\big| + C} \end{array} \]

Note

对于被积函数包含 \(\sqrt{x^2 - a^2}\) 的情况，可以考虑使用三角代换，令 \(x = a \sec t\)，从而消去根式。

\(\displaystyle \int \frac{1}{x^2 + a^2}dx\) （\(a > 0\)）¶

使用凑微分法计算这个积分（观察到被积函数的形似 \(\arctan x\) 的导函数）：

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{x^2 + a^2}dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{a^2} \frac{1}{1 + (\textstyle \frac{x}{a})^2} ad\frac{x}{a} \\ &= \boxed{\displaystyle \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C} \end{array} \]

\(\displaystyle \int \frac{1}{x^2 - a^2}dx\) （\(a > 0\)）¶

使用拆项裂项计算这个积分：

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{x^2 - a^2}dx} &= \displaystyle \frac{1}{2a} \int \left(\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a}\right) dx \\ &= \boxed{\displaystyle \frac{1}{2a} \ln |\frac{x - a}{x + a}| + C} \end{array} \]

有理函数积分之 \(\displaystyle \int \frac{1}{(x^2 + a^2)^n} dx\)¶

分部积分，然后加一项减一项凑出递推式，最后得到结果。

使用 \(a = 1\) 的情况说明：

\[ \begin{array}{rl} \boxed{I(n)} = \displaystyle \int \frac{1}{(x^2 + 1)^n} dx &= \displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x - \int x d\frac{1}{(x^2 + 1)^n}\\ &= \displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x - \int \frac{(x) \cdot (-n) \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^{n+1}} dx\\ &= \displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x + 2n \int \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{n+1}} dx\\ &= \displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x + 2n \int \frac{x^2 + 1 - 1}{(x^2 + 1)^{n+1}} dx\\ &= \boxed{\displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x + 2n I(n) - 2n I(n+1)} \end{array} \]

\(\displaystyle \int \sqrt{ax^2 - 1} dx\)¶

！！下面的解法比较复杂，有待进一步简化。

首先分部积分，原积分等于 \(\displaystyle x\sqrt{ax^2 - 1} - \int \frac{ax^2}{\sqrt{ax^2 - 1}} dx\)。

然后对右边的积分使用三角换元法，令 \(\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{a}} \sec t\)，从而右边的积分等于 \(\displaystyle \int \cos^{-3}x dx\)，这个积分可以通过 \(\displaystyle \int \cos^{n}x dx\) 的递推式进行计算。

三角函数与有理函数之积的积分¶

\(\displaystyle \int x^n \sin x dx\)、\(\displaystyle \int x^n \cos x dx\)¶

以 \(\displaystyle \int x^n \sin x dx\) 为例，遵循口诀 反对幂指三，将 \(\sin x\) 凑入微分式中，使用分部积分法简化这个积分，直至 \(x\) 的次数降为 0。

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int x^p \sin x dx} &= \displaystyle -x^p \cos x + p \int x^{p-1} \cos x dx \\ &= \displaystyle -x^p \cos x + p \left(x^{p-1} \sin x - (p-1) \int x^{p-2} \sin x dx\right) \\ &= \dots \end{array} \]

\(\displaystyle \int \sin^{2k+1} x dx\)、\(\displaystyle \int \cos^{2k+1} x dx\)¶

这个积分可以通过多次分部积分迭代得出，但是更简单的方法是提出一个 \(\sin x\) 或 \(\cos x\)，然后对剩余的偶数次幂的三角函数使用三角恒等式 \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) 化简。然后，对于仅含有 \(\sin x\) 或 \(\cos x\) 的多项式，由于此时微分号内已经有 \(d\sin x\) 或 \(d\cos x\)，可以再次使用凑微分的方法。通过上面的步骤，可以得到这样的积分：\(\displaystyle \int x \mathrm{d}P_{k+1}(\sin x)\) 或 \(\displaystyle \int x \mathrm{d}P_{2k+1}(\cos x)\)，其中 \(P_{2k+1}\) 是一个 \(2k+1\) 次多项式。这时再用分部积分法即可得到结果。

例如：求积分 \(\displaystyle \int \cos^7 x dx\)。

\[ \begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \cos^7 x dx} &= \displaystyle \int \cos^6 x \cos x dx \\ &= \displaystyle \int \cos^6 x d\sin x \\ &= \displaystyle \int (1 - \sin^2 x)^3 x d\sin x \\ &= \displaystyle \int (1 - 3\sin^2 x + 3\sin^4 x - \sin^6 x) d\sin x \\ &= \displaystyle \int x d\left( \sin x - \sin^3 x + \frac{3}{5} \sin^5 x - \frac{1}{7} \sin^7 x \right) \\ &= \displaystyle x \left( \sin x - \sin^3 x + \frac{3}{5} \sin^5 x - \frac{1}{7} \sin^7 x \right) - \int \left( \sin x - \sin^3 x + \frac{3}{5} \sin^5 x - \frac{1}{7} \sin^7 x \right) dx \\ &= \dots \end{array} \]

如果是求区间 \(\displaystyle [0, \frac{\pi}{2}]\) 上的定积分，可以使用华莱士公式直接得出结果。

值得记录的其它积分¶

每个积分的第一个方法为我认为的最佳方法，后面的方法（如果有）用于对比或者是补充。

\(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} dx\)¶

方法一

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle I &= \displaystyle \int_0^1 \sqrt{\frac{(1 - x)(1 - x)}{(1 + x)(1 - x)}} dx \\ &= \displaystyle \int_0^1 \frac{1 - x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \\ &= \displaystyle \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx - \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} dx \\ &= \displaystyle \arcsin x + \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{d(1 - x^2)}{\sqrt{1 - x^2}} \\ &= \displaystyle \left. \arcsin x + \sqrt{1 - x^2} \right|_0^1 \\ &= \displaystyle \frac{\pi}{2} - 1 \end{array} \]

方法二：常规换元法：令 \(\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} = t\)，则 \(\displaystyle x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}\)，\(\displaystyle dx = \frac{-4t}{(1 + t^2)^2} dt\)。

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle I &= \displaystyle \int_1^0 \frac{-4t^2}{(1 + t^2)^2} dt \\ &= \displaystyle 4 \int_0^1 \frac{t^2}{(1 + t^2)^2} dt \\ &= \displaystyle 2 \int_0^1 t \cdot \frac{d(1 + t^2)}{(1 + t^2)^2} \\ &= \displaystyle 2 \int_0^1 t \cdot d\frac{-1}{1 + t^2} \\ &= \displaystyle 2 \left( -\frac{t}{1 + t^2} + \int_0^1 \frac{dt}{1 + t^2} \right) \\ &= \displaystyle 2 \left( -\frac{t}{1 + t^2} + \arctan t \right) \Big|_0^1 \\ &= \displaystyle 2 \left( -\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4} \right) \\ &= \displaystyle \frac{\pi}{2} - 1 \end{array} \]

\(\displaystyle \int \sqrt{1 + x^2}dx = \int \sec^3 t dt\)¶

方法一：使用熟知的有理函数分解。

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle I &= \displaystyle \int \frac{\cos t}{\cos^4 t} dt \\ &= \displaystyle \int \frac{d\sin t}{(1 - \sin^2 t)^2} \end{array} \]

令 \(\displaystyle u = \sin t\)：

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle I &= \displaystyle \int \frac{du}{(1 - u^2)^2} \\ &= \displaystyle \int \left(\frac{1}{(1 - u)^2} + \frac{1}{(1 + u)^2} + \frac{1}{1 - u} + \frac{1}{1 + u}\right) du \\ &= \displaystyle \frac{1}{1 - u} - \frac{1}{1 + u} + \ln \left|\frac{1 + u}{1 - u}\right| + C \\ \end{array} \]

方法二：通过 \(\displaystyle \int \cos^{n}x dx\) 的递推式进行计算，较为繁琐，此处略去。