一元函数的常用积分公式基础

整理一下做 660 时碰到的一些常用积分公式。这些公式能够作为原语，帮助简化计算更加复杂的积分。

掌握这些积分的计算方法是计算更复杂的积分的基础。

本文将列出所有的推导过程以及基本思路，并且会尽量避免难以注意到的凑微分技巧。

初等函数导数表

下面列出了常见初等函数的导数。熟知初等函数的导数有助于凑微分，或直接找到某些形式的函数的原函数。

基本三角函数的积分

$\displaystyle \int \sin x dx$、$\displaystyle \int \cos x dx$

参照初等函数导数表，可以直接得到这两个函数的不定积分：

$$\boxed{\int \sin x dx = -\cos x + C} $$

$$\boxed{\int \cos x dx = \sin x + C} $$

$\displaystyle \int \tan x dx$、$\displaystyle \int \cot x dx$

通过 凑微分 计算 $\displaystyle \int \tan x dx$。

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \tan x dx} &= \displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos x} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{-d(\cos x)}{\cos x} \\ &= \boxed{\displaystyle -\ln |\cos x| + C} \end{array} $$

通过 凑微分 计算 $\displaystyle \int \cot x dx$。

不过更为重要的思想是利用 诱导公式 计算与之相差一个常数的积分，这里使用这种方法进行计算。

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \cot x dx} &= \displaystyle \int \tan \left( \frac{\pi}{2} - x\right) dx \\ &= \displaystyle - \int \tan \left(\frac{\pi}{2} - x\right) d\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \displaystyle \ln |\cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right)| + C \\ &= \boxed{\displaystyle \ln |\sin x| + C} \end{array} $$

$\displaystyle \int \sec x dx$、$\displaystyle \int \csc x dx$

先计算 $\displaystyle \int \csc x dx$，需要用到的技巧有：三角恒等变换、凑微分。

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \csc x dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{\sin x} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} d\tan \frac{x}{2} \\ &= \displaystyle \ln |\tan \frac{x}{2}| + C \\ &= \displaystyle \ln |\frac{\sin^2 \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}| + C \\ &= \displaystyle \ln |\frac{\frac{1}{2}(1 - \cos x)}{\frac{1}{2}(\sin x)}| + C \\ &= \displaystyle \boxed{\ln |\csc x - \cot x| + C} \end{array} $$

或者另一种主要运用拆项裂项的方法：

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \csc x dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{\sin x} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx \\ &= \displaystyle -\int \frac{d \cos x}{1 - \cos^2 x} \\ &= \displaystyle -\frac{1}{2} \int \left(\frac{1}{1 + \cos x} + \frac{1}{1 - \cos x}\right)d\cos x \\ &= \displaystyle -\frac{1}{2} \left(\int \frac{d\cos x}{1 + \cos x} + \int \frac{d\cos x}{1 - \cos x}\right) \\ &= \displaystyle -\frac{1}{2} \left(\ln |1 + \cos x| - \ln |1 - \cos x|\right) + C \\ &= \displaystyle \ln \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} + C \\ &= ... \\ &= \displaystyle \boxed{\ln |\csc x - \cot x| + C} \end{array} $$

然后使用诱导公式计算 $\displaystyle \int \sec x dx$。

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \sec x dx} &= \displaystyle \int \csc \left(\frac{\pi}{2} - x\right)dx \\ &= \displaystyle -\int \csc \left(\frac{\pi}{2} - x\right) d\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \displaystyle -\ln |\csc \left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \cot \left(\frac{\pi}{2} - x\right)| + C \\ &= \boxed {\displaystyle -\ln |\sec x - \tan x| + C} \end{array} $$

复杂三角函数的积分

$\displaystyle \int \sin^n x dx$、$\displaystyle \int \cos^n x dx$

运用分部积分法迭代地计算 $\displaystyle \int \sin^n x dx$。

$$\begin{array}{rl} \boxed{I(n)} = \displaystyle \int \sin^n x dx &= \displaystyle -\int \sin^{n-1} x d\cos x \\ &= \displaystyle -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x \cos^2 x dx \\ &= \displaystyle - \sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \int \sin^{n-2} x (1 - \sin^2 x) dx \\ &= \boxed{\displaystyle -\sin^{n-1} x \cos x + (n-1) \big[I(n-2) - I(n)\big]} \end{array} $$

$\displaystyle \int \cos^n x dx$ 的计算方法与之类似，或者在两者都需要求出的情况下使用诱导公式和凑微分得出。

$\displaystyle \int \frac{1}{1 + \sin^2 x} dx$

上下同乘 $\sec^2 x$，凑出 $\tan x$ 的微分：

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{1 + \sin^2 x} dx} &= \displaystyle \int \frac{\sec^2 x}{\sec^2 x + \tan^2 x} dx \\ &= \displaystyle \int \frac{d \tan x}{1 + 2\tan^2 x} \\ &= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan (\sqrt{2} \tan x) + C \end{array} $$

有理函数的积分

虽然有理函数的不定积分有通用解法，然而其计算过程往往较为复杂，因此在这里列出一些常见的有理函数的不定积分的计算方法。

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx$ （$a > 0$）

使用凑微分法计算这个积分（观察到被积函数的形似 $\arcsin x$ 的导函数）：

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}dx} &= \displaystyle \frac{1}{a\sqrt{1 - \textstyle (\frac{x}{a})^2}} ad\frac{x}{a} \\ &= \boxed{\displaystyle \arcsin \frac{x}{a} + C} \end{array} $$

注意. 对于被积函数包含 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 的情况，可以考虑使用三角代换，令 $x = a \sin t$，从而消去根式。

注意. 在使用三角代换时，可以画出代换的角对应的直角三角形，从而在回代时快速地确定所需要的三角函数值。

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}dx$ （$a > 0$）

使用 三角换元法，令 $x = a \tan t$：

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^2 + x^2}}dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{a \sqrt{1 + \tan^2 t}} a \sec^2 t dt \\ &= \displaystyle \int |\sec t| dt \\ &= \displaystyle \big|-\ln |\sec t - \tan t|\big| + C \\ &= \boxed{\displaystyle \big|\ln |\frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{a} - \frac{x}{a}|\big| + C} \end{array} $$

注意. 对于被积函数包含 $\sqrt{a^2 + x^2}$ 的情况，可以考虑使用三角代换，令 $x = a \tan t$，从而消去根式。

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}dx$ （$a > 0$）

使用 三角换元法，令 $x = a \sec t$：

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{a \sqrt{\sec^2 t - 1}} a \sec t \tan t dt \\ &= \displaystyle \int \frac{\tan t}{|\tan t|}\sec t dt \\ &= \displaystyle \big|-\ln |\sec t - \tan t|\big| + C \\ &= \boxed{\displaystyle \big|\ln |\frac{x}{a} - \frac{\sqrt{x^2 - a^2}}{a}|\big| + C} \end{array} $$

注意. 对于被积函数包含 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 的情况，可以考虑使用三角代换，令 $x = a \sec t$，从而消去根式。

$\displaystyle \int \frac{1}{x^2 + a^2}dx$ （$a > 0$）

使用凑微分法计算这个积分（观察到被积函数的形似 $\arctan x$ 的导函数）：

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{x^2 + a^2}dx} &= \displaystyle \int \frac{1}{a^2} \frac{1}{1 + (\textstyle \frac{x}{a})^2} ad\frac{x}{a} \\ &= \boxed{\displaystyle \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C} \end{array} $$

$\displaystyle \int \frac{1}{x^2 - a^2}dx$ （$a > 0$）

使用拆项裂项计算这个积分：

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \frac{1}{x^2 - a^2}dx} &= \displaystyle \frac{1}{2a} \int \left(\frac{1}{x - a} - \frac{1}{x + a}\right) dx \\ &= \boxed{\displaystyle \frac{1}{2a} \ln |\frac{x - a}{x + a}| + C} \end{array} $$

有理函数积分之 $\displaystyle \int \frac{1}{(x^2 + a^2)^n} dx$

分部积分，然后加一项减一项凑出递推式，最后得到结果。

使用 $a = 1$ 的情况说明：

$$\begin{array}{rl} \boxed{I(n)} = \displaystyle \int \frac{1}{(x^2 + 1)^n} dx &= \displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x - \int x d\frac{1}{(x^2 + 1)^n}\\ &= \displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x - \int \frac{(x) \cdot (-n) \cdot (2x)}{(x^2 + 1)^{n+1}} dx\\ &= \displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x + 2n \int \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{n+1}} dx\\ &= \displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x + 2n \int \frac{x^2 + 1 - 1}{(x^2 + 1)^{n+1}} dx\\ &= \boxed{\displaystyle \frac{1}{(x^2 + 1)^n} x + 2n I(n) - 2n I(n+1)} \end{array} $$

$\displaystyle \int \sqrt{ax^2 - 1} dx$

！！下面的解法比较复杂，有待进一步简化。

首先分部积分，原积分等于 $\displaystyle x\sqrt{ax^2 - 1} - \int \frac{ax^2}{\sqrt{ax^2 - 1}} dx$。

然后对右边的积分使用三角换元法，令 $\displaystyle x = \frac{1}{\sqrt{a}} \sec t$，从而右边的积分等于 $\displaystyle \int \cos^{-3}x dx$，这个积分可以通过 $\displaystyle \int \cos^{n}x dx$ 的递推式进行计算。

三角函数与有理函数之积的积分

$\displaystyle \int x^n \sin x dx$、$\displaystyle \int x^n \cos x dx$

以 $\displaystyle \int x^n \sin x dx$ 为例，遵循口诀 反对幂指三，将 $\sin x$ 凑入微分式中，使用分部积分法简化这个积分，直至 $x$ 的次数降为 0。

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int x^p \sin x dx} &= \displaystyle -x^p \cos x + p \int x^{p-1} \cos x dx \\ &= \displaystyle -x^p \cos x + p \left(x^{p-1} \sin x - (p-1) \int x^{p-2} \sin x dx\right) \\ &= \dots \end{array} $$

$\displaystyle \int \sin^{2k+1} x dx$、$\displaystyle \int \cos^{2k+1} x dx$

这个积分可以通过多次分部积分迭代得出，但是更简单的方法是提出一个 $\sin x$ 或 $\cos x$，然后对剩余的偶数次幂的三角函数使用三角恒等式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 化简。然后，对于仅含有 $\sin x$ 或 $\cos x$ 的多项式，由于此时微分号内已经有 $d\sin x$ 或 $d\cos x$，可以再次使用凑微分的方法。通过上面的步骤，可以得到这样的积分：$\displaystyle \int x \mathrm{d}P_{k+1}(\sin x)$ 或 $\displaystyle \int x \mathrm{d}P_{2k+1}(\cos x)$，其中 $P_{2k+1}$ 是一个 $2k+1$ 次多项式。这时再用分部积分法即可得到结果。

例如：求积分 $\displaystyle \int \cos^7 x dx$。

$$\begin{array}{rl} \boxed{\displaystyle \int \cos^7 x dx} &= \displaystyle \int \cos^6 x \cos x dx \\ &= \displaystyle \int \cos^6 x d\sin x \\ &= \displaystyle \int (1 - \sin^2 x)^3 x d\sin x \\ &= \displaystyle \int (1 - 3\sin^2 x + 3\sin^4 x - \sin^6 x) d\sin x \\ &= \displaystyle \int x d\left( \sin x - \sin^3 x + \frac{3}{5} \sin^5 x - \frac{1}{7} \sin^7 x \right) \\ &= \displaystyle x \left( \sin x - \sin^3 x + \frac{3}{5} \sin^5 x - \frac{1}{7} \sin^7 x \right) - \int \left( \sin x - \sin^3 x + \frac{3}{5} \sin^5 x - \frac{1}{7} \sin^7 x \right) dx \\ &= \dots \end{array} $$

如果是求区间 $\displaystyle [0, \frac{\pi}{2}]$ 上的定积分，可以使用华莱士公式直接得出结果。