二重积分的黎曼和
二重积分的定义
考虑定义在有界闭区域 $D$ 上的函数 $f(x, y)$，将 $D$ 平行于坐标轴地分割成 $k$ 个小矩形 $D_{ij}$，其中 $i = 1, 2, \cdots, n$，$j = 1, 2, \cdots, m$。设 $D_{ij}$ 的面积为 $\Delta A_{ij}$，取 $D_{ij}$ 中任意一点 $(\xi_{ij}, \eta_{ij})$，将 $f(\xi_{ij}, \eta_{ij})$ 与 $\Delta A_{ij}$ 的乘积求和：
$$S = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(\xi_{ij}, \eta_{ij}) \Delta A_{ij}
$$
对于 $S$，根据划分的不同以及 $f(\xi_{ij}, \eta_{ij})$ 的不同选取方法，可能得到不同的值。
定义划分的范数 $||P||$ 为 $D$ 中所有小矩形的最大直径，如果当 $||P|| \to 0$ 时，$S$ 的极限存在，且无论做什么选择都是都给出同一个极限值，那么，$f(x, y)$ 在 $D$ 上是可积的，称这个极限为函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记作：
$$\begin{array}{l}
\begin{array}{ccc}
\displaystyle \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A
& \text{or} &
\displaystyle \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y
\end{array}
\\
:= \displaystyle \lim_{||P|| \to 0} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f(\xi_{ij}, \eta_{ij}) \Delta A_{ij} \\
= \displaystyle \lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^k f(\xi_i, \eta_i) \Delta A_i
\end{array}
$$
如果被积分区域 $D$ 带有弯曲的边界 $\partial D$，划分的 小矩形全部位于 $D$ 内部，而不能覆盖完整的 $D$，为了使划分充分地接近 $D$，当划分的范数 $||P|| \to 0$ 时，必须要使得 $D$ 中不在划分内部的部分的面积趋于零，对于绝大多数的 $\partial D$，这是可以做到的，然而在处理分形的边界时，这个问题就会变得复杂。在哪些区域 $D$ 上能够计算二重积分，这个问题在此处不讨论。
与在一元函数中的积分类似，连续的二元函数在有界闭区域上一定是可积的，这个定理在此处不证明。
本文涉及的所有二重积分都是可积分的。
富比尼定理
定理 若函数 $f(x, y)$ 在整个矩形区域
$$D = \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \}
$$
上连续，则
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, \mathrm{d}y \right) \, \mathrm{d}x = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y) \, \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}y
$$
定理 若函数 $f(x, y)$ 是区域 $D$ 上的连续函数：
(1) 若 $D$ 是由 $a \leq x \leq b$，$g_1(x) \leq y \leq g_2(x)$ 定义的，其中 $g_1(x)$ 和 $g_2(x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，则
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = \int_a^b \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y) \, \mathrm{d}y \right) \, \mathrm{d}x
$$
(2) 若 $D$ 是由 $h_1(y) \leq x \leq h_2(y)$，$c \leq y \leq d$ 定义的，其中 $h_1(y)$ 和 $h_2(y)$ 是 $[c, d]$ 上的连续函数，则
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = \int_c^d \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x, y) \, \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}y
$$
这两个定理可以由「物体的体积与计算体积时使用的截面方法无关」直观地理解。其证明在此处不证明。
这两个定理给出将二重积分转化为累次积分的计算方法，对于既不属于 (1) 也不属于 (2) 的区域，可以通过将积分区域划分为若干个满足 (1) 或 (2) 的区域，然后分别计算二重积分，最后求和。使用定义不难证明二重积分对积分区域的有限划分是可加的。
在国内的教材中，属于 (1) 的区域通常被称为 $x-$ 型区域，属于 (2) 的区域通常被称为 $y-$ 型区域。
二重积分的性质
基本性质
如果 $f(x, y)$ 和 $g(x, y)$ 是连续函数，则：
(1) 线性性之 1 次齐次性，对任意常数 $k$：
$$\iint_D k\cdot f(x, y) \, \mathrm{d}A = k \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A
$$
(2) 线性性之可加性：
$$\iint_D \left( f(x, y) \pm g(x, y) \right) \, \mathrm{d}A = \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A \pm \iint_D g(x, y) \, \mathrm{d}A
$$
(3) 对区间 $D$ 的可加性，如果 $D$ 可以分解为两个不相交的区域 $D_1$ 和 $D_2$：
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = \iint_{D_1} f(x, y) \, \mathrm{d}A + \iint_{D_2} f(x, y) \, \mathrm{d}A
$$
(4) 优势积分：如果在区域 $D$ 上 $f(x, y) \geq g(x, y)$，则：
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A \geq \iint_D g(x, y) \, \mathrm{d}A
$$
特例：如果在区域 $D$ 上 $f(x, y) \geq 0$，则：
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A \geq 0
$$
所有的这些性质都可以通过定义证明。
二重积分的中值定理
定理 如果函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则在区域 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$，使得：
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = f(\xi, \eta) \cdot A(D)
$$
证明. 由于 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，所以在 $D$ 上一定存在最大值 $M$ 和最小值 $m$，则：
$$m \cdot A(D) = \iint_D m \, \mathrm{d}A \leq \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A \leq \iint_D M \, \mathrm{d}A = M \cdot A(D)
$$
因此，$\displaystyle \frac{1}{A(D)} \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A$ 是介于 $m$ 和 $M$ 之间的一个数。
根据连续函数的介值定理，必然存在 $(\xi, \eta) \in D$，使得 $f(\xi, \eta) = \displaystyle \frac{1}{A(D)} \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A$。将 $A(D)$ 乘到等式两边即可得到二重积分的中值定理。$\blacksquare$
直角坐标系下二重积分的计算
求积分限的一般过程
求解二重积分 $\displaystyle \iint_R f(x, y) \, \mathrm{d}A$ 的过程中，首先将积分区域 $R$ 分解成一个或多个适用富比尼定理的区域（$x-$ 型区域或 $y-$ 型区域），然后根据富比尼定理，将二重积分转化为累次积分，最后计算累次积分。应用富比尼定理的过程中，需要注意积分限的确定。
下面给出求解积分 $\displaystyle \iint_R f(x, y) \, \mathrm{d}A$ 先对 $y$ 积分后对 $x$ 积分的一般过程（托马斯微积分 P.700）：
极坐标系下二重积分的计算
使用二重积分的定义在极坐标系下计算二重积分
在直角坐标的情况下，我们有 $\mathrm{d}A = \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y$，在极坐标系下，我们有 $\mathrm{d}A = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta$。
使用以原点为圆心的圆弧和以原点为起点的射线构成网格。使用网格中的每一个小矩形（称为极矩形）以与直角坐标系下的小矩形类似的方式覆盖被积分区域 $D$，由黎曼和定义二重积分的值：
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = \lim_{k \to \infty} \sum_{i=1}^k f(r_i, \theta_i) \Delta A_i
$$
为了求解这个极限，我们必须用 $\Delta r_i$ 和 $\Delta \theta_i$ 来表示 $\Delta A_i$，并且极限要求 $\Delta r_i \to 0$ 和 $\Delta \theta_i \to 0$。
如图所示（图片来自苏德矿微积分（下）P.153，图中使用 $\Delta \sigma$ 表示我们所说的 $\Delta A$），使用大扇形的面积减去小扇形的面积计算 $\Delta A_i$：
当 $\Delta r_i \to 0$ 和 $\Delta \theta_i \to 0$ 时，我们有：
$$\begin{array}{ll}
\Delta A_i
&= \displaystyle \left( \frac{1}{2} (r_i + \Delta r_i)^2 - \frac{1}{2} r_i^2 \right) \Delta \theta_i \\
&= \displaystyle r_i \Delta r_i \Delta \theta_i + \frac{1}{2}\Delta r_i^2 \Delta \theta_i \\
&= \displaystyle r_i \Delta r_i \Delta \theta_i + o(\Delta r_i \Delta \theta_i)
\end{array}
$$
因此，我们有 $\mathrm{d}A = r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta$。从而，对于极坐标系下的二重积分，我们有：
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = \iint_D f(r \cos \theta, r \sin \theta) \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta
$$
与直角坐标系下的二重积分类似，我们可以使用富比尼定理将极坐标系下的二重积分转化为累次积分：
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = \int_{\theta = \alpha}^{\theta = \beta} \left( \int_{r = g_1(\theta)}^{r = g_2(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \, r \, \mathrm{d}r \right) \, \mathrm{d}\theta
$$
在极坐标系中求积分限的一般过程
托马斯微积分 P.716 给出了在极坐标系中求积分限的一般过程：
也可以先对 $\theta$ 积分后对 $r$ 积分，这个时候，应该使用逆时针方向的圆弧（这个圆弧以原点为圆心）穿过积分区域 $D$ 来求解内层积分的积分限：从 $\theta = \theta_1(r)$ 到 $\theta = \theta_2(r)$。然后求限定 $D$ 的最小 $r$ 值和最大 $r$ 值，从而求解外层积分的积分限。
二重积分的一般换元法*
设坐标变换 $\begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \end{cases}$ 将平面区域 $D$ （以 $(x, y)$ 为坐标）变换为平面区域 $D'$ （以 $(u, v)$ 为坐标），且满足：
- 变换是一一对应的，即对于 $D$ 中的每一点 $(x, y)$，变换后的点 $(u, v)$ 也是唯一的；
- 坐标变换 $x(u, v)$ 和 $y(u, v)$ 在 $D'$ 上有连续的偏导数；
- 变换的雅可比行列式 $\displaystyle \frac{\partial(x, y)}{\partial (u, v)} = \left| \begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right| \neq 0$。
则有：
$$\iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = \iint_{D'} f(x(u, v), y(u, v)) \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial (u, v)} \right| \, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v
$$
此处，$\displaystyle \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial (u, v)} \right|\, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v$ 表示变换后的面积元 $\mathrm{d}A'$，而 $\displaystyle \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial (u, v)} \right|$ 表示变换的缩放因子，是雅可比行列式的绝对值。
这个公式在此处不证明。
一些例题
通过交换积分次序简化计算
通过换元法换元至极坐标系下计算
形如 $f(\sqrt{x^2 + y^2})$，$\displaystyle f(\frac{y}{x})$，$\displaystyle f(\frac{x}{y})$ 的函数，通过极坐标换元后，可以转化为仅与 $r$ 有关的函数（第一种情况）和 $\theta$ 有关的函数（第二、第三种情况），从而简化计算。
与圆有关的积分区域，也可以通过极坐标换元简化计算。
例. 计算 $\displaystyle \iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, \mathrm{d}A$，其中区域 $D$ 为曲线 $x^2 + y^2 = 2ay$ 围成的区域。
令 $\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}$，则 $x^2 + y^2 = 2ay$ 变为 $r = 2a \sin \theta$。通过画图可以确定，先对 $r$ 积分再对 $\theta$ 积分的积分限变为 $0 \leq r \leq 2a \sin \theta$，$0 \leq \theta \leq \pi$。所以：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, \mathrm{d}A
&= \displaystyle \int_0^{\pi} \int_0^{2a \sin \theta} r \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \int_0^{\pi} \left( \int_0^{2a \sin \theta} r^2 \, \mathrm{d}r \right) \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \int_0^{\pi} \frac{8}{3} a^3 \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \frac{8}{3} a^3 \int_0^{\pi} \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \frac{8}{3} \cdot 2 \cdot \int_0^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \sin^3 \theta \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \frac{8}{3} \cdot 2 \cdot \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{1} \right) \\
&= \displaystyle \frac{32}{9} a^3
\end{array}
$$
例. 计算 $\displaystyle \iint_D (x + y) \, \mathrm{d}A$，其中区域 $D$ 为曲线 $x^2 + y^2 = x + y$ 围成的区域。
令 $\begin{cases} \displaystyle x = \frac{1}{2} + r \cos \theta \\ \displaystyle y = \frac{1}{2} + r \sin \theta \end{cases}$，则 $x^2 + y^2 = x + y$ 变为 $r = 1$。通过画图可以确定，先对 $\theta$ 积分再对 $r$ 积分的积分限变为 $0 \leq \theta \leq 2\pi$，$\displaystyle 0 \leq r \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$。
而由于平移变换不会改变面积元的缩放因子，所以变换的雅可比行列式的绝对值 $|J| = r$。所以：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \iint_D (x + y) \, \mathrm{d}A
&= \displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left( \frac{1}{2} + r \cos \theta + \frac{1}{2} + r \sin \theta \right) r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left[r + (\sin \theta + \cos \theta) r^2\right] \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \int_0^{2\pi} \left[\frac{1}{4} + C(\sin \theta + \cos \theta) \right] \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \frac{1}{2}\pi + 0 = \frac{1}{2}\pi
\end{array}
$$
通过一般换元法简化计算*
需要留意雅可比行列式满足 $\displaystyle \frac{\partial(x, y)}{\partial (u, v)} \cdot \frac{\partial(u, v)}{\partial (x, y)} = 1$。有时可以利用这个性质来简化偏导数的计算。
例. 求曲线 $xy = a^2$，$xy = 2a^2$，$y = x$，$y = 2x$ 围成的区域的面积。
作变换 $\begin{cases} u = xy \\ \displaystyle v = \frac{y}{x} \end{cases}$，则有：$a^2 \leq u \leq 2a^2$，$1 \leq v \leq 2$。计算雅可比行列式：
$$\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}
= \left( \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}\right)^{-1}
= \begin{vmatrix}
\displaystyle y &
\displaystyle x \\
\displaystyle -\frac{y}{x^2} &
\displaystyle \frac{1}{x}
\end{vmatrix}^{-1}
= \left( 2\frac{y}{x} \right)^{-1}
= \frac{1}{2v}
$$
设 $D$ 为原区域，$D'$ 为变换后的区域，有：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \iint_D \, \mathrm{d}A
&= \displaystyle \iint_{D'} \left| \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \right| \, \mathrm{d}u \, \mathrm{d}v \\
&= \displaystyle \int_{a^2}^{2a^2} \int_1^2 \frac{1}{2v} \, \mathrm{d}v \, \mathrm{d}u \\
&=\displaystyle \left( \int_{a^2}^{2a^2}\, \mathrm{d}u \right) \left( \int_1^2 \frac{1}{2v} \, \mathrm{d}v \right) \\
&= \displaystyle \frac{a^2}{2} \ln 2
\end{array}
$$
应用对称性简化计算
函数（与积分区域）的对称性
例. 计算 $\displaystyle \iint_D x + xyf(x^2 + y^2) \, \mathrm{d}A$，其中区域 $D$ 为 $y = x^3$，$y = 1$，$x = -1$ 围成的区域。
积分区域如图所示。作辅助线 $y = -x^3$，该辅助线将积分区域划分为一个关于 $x$ 轴对称的区域和一个关于 $y$ 轴对称的区域。
由于函数 $xyf(x^2 + y^2)$ 对 $x$ 是奇函数，因此它在关于 $y$ 轴对称的区域上的二重积分为 $0$。由于函数 $x$ 对 $y$ 是奇函数，因此它在关于 $x$ 轴对称的区域上的二重积分为 $0$。所以，在整个区域 $D$ 上：
$$\iint_D xyf(x^2 + y^2) \, \mathrm{d}A = 0
$$
因此：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \iint_D x + xyf(x^2 + y^2) \, \mathrm{d}A
&= \displaystyle \iint_D x \, \mathrm{d}A \\
&= \displaystyle \int_{-1}^1 \int_{x^3}^1 x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}x \\
&= \displaystyle \int_{-1}^1 x (1 - x^3) \, \mathrm{d}x \\
&= \displaystyle -\frac{2}{5}
\end{array}
$$
例. 计算 $\displaystyle \iint_D (x + y) \, \mathrm{d}A$，其中区域 $D$ 为曲线 $x^2 + y^2 = x + y$ 围成的区域。
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \iint_D (x + y) \, \mathrm{d}A
&= \displaystyle \iint_D \left[(x - \frac{1}{2}) + (y - \frac{1}{2}) + 1 \right] \, \mathrm{d}A
\end{array}
$$
由于积分区域关于 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ 和 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$ 对称，而函数 $\displaystyle f(x, y) = x - \frac{1}{2}$ 和 $\displaystyle f(x, y) = y - \frac{1}{2}$ 分别关于 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ 和 $\displaystyle y = \frac{1}{2}$ 是奇函数，所以：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \iint_D \left[(x - \frac{1}{2}) + (y - \frac{1}{2}) + 1 \right] \, \mathrm{d}A
&= \displaystyle 0 + 0 + \iint_D 1 \, \mathrm{d}A \\
&= \displaystyle \frac{\pi}{2}
\end{array}
$$
变量（与积分区域）的对称性
例. 计算 $\displaystyle \iint_D \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \, \mathrm{d}A$，其中区域 $D$ 为圆 $x^2 + y^2 \leq R^2$。
被积分区域关于直线 $y = x$ 对称。因此，$\displaystyle \iint_D f(x, y) \, \mathrm{d}A = \iint_D f(y, x) \, \mathrm{d}A$。
由变量的对称性，有 $\displaystyle \iint_D \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \, \mathrm{d}A = \iint_D \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} \, \mathrm{d}A$，所以：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \iint_D \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \, \mathrm{d}A
&= \displaystyle \frac{1}{2} \left( \iint_D \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \, \mathrm{d}A + \iint_D \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} \, \mathrm{d}A \right) \\
&= \displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right) \iint_D (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}A \\
&= \displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right) \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right) \int_0^{2\pi} \frac{1}{4} R^4 \, \mathrm{d}\theta \\
&= \displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right) \frac{1}{4} R^4 \cdot 2\pi \\
&= \displaystyle \frac{\pi R^4}{4} \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \right)
\end{array}
$$
使用二重积分计算复杂的一重积分
例. 计算 $\displaystyle \int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x$。
设 $\displaystyle I(R) = \int_0^R e^{-x^2} \, \mathrm{d}x$，则：
$$\begin{array}{ll}
I^2(R)
&= \displaystyle \left( \int_0^R e^{-x^2} \, \mathrm{d}x \right) \left( \int_0^R e^{-y^2} \, \mathrm{d}y \right) \\
&= \displaystyle \int_0^R \left( \int_0^R e^{-x^2} e^{-y^2} \, \mathrm{d}y \right) \, \mathrm{d}x \\
&= \displaystyle \iint_{[0, R] \times [0, R]} e^{-(x^2+y^2)} \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \\
&= \displaystyle \iint_D e^{-r^2} \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \\
\end{array}
$$
被积分区域 $D = [0, R] \times [0, R]$（直角坐标）介于以原点为圆心，以 $R$ 和 $\sqrt{2}R$ 为半径的两个四分之一圆之间，而被积函数 $e^{-(x^2+y^2)}$ 恒正，所以：
$$\int_0^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \left( \int_0^R e^{-r^2} \, r \, \mathrm{d}r \right) \, \mathrm{d}\theta
< \iint_D e^{-r^2} \, r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta
< \int_0^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \left( \int_0^{\sqrt{2}R} e^{-r^2} \, r \, \mathrm{d}r \right) \, \mathrm{d}\theta
$$
又因为
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \int_0^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \left( \int_0^R e^{-r^2} \, r \, \mathrm{d}r \right) \, \mathrm{d}\theta
&= \displaystyle \left( -\frac{1}{2}\int_0^R e^{-r^2} \, \mathrm{d}(-r^2) \right) \left( \int_0^{\textstyle \frac{\pi}{2}} \, \mathrm{d}\theta \right)\\
&= \displaystyle \frac{\pi}{4} \left( 1 - e^{-R^2} \right)
\end{array}
$$
当 $R \to +\infty$ 时，使用夹逼定理，有 $\displaystyle I^2(R) \to \frac{\pi}{4}$，所以：
$$\int_0^{+\infty} e^{-x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}
$$
上式中的第二个等号是因为：
$$\begin{array}{ll}
\displaystyle \int_0^R \left( \int_0^R e^{-x^2} e^{-y^2} \, \mathrm{d}y \right) \, \mathrm{d}x
&= \displaystyle \int_0^R e^{-x^2} \left( \int_0^Re^{-y^2} \, \mathrm{d}y \right) \, \mathrm{d}x \\
&= \displaystyle \left( \int_0^R e^{-y^2} \, \mathrm{d}y \right) \left(\int_0^R e^{-x^2} \, \mathrm{d}x\right)
\end{array}
$$
在对 $x$ 的积分中，所有与 $y$ 有关的项都被看作常数，所以可以提出来。这在某些条件下能够将累次积分转为两个一重积分的乘积。
例. 计算 $\displaystyle \int_0^1 \frac{x^p - x^q}{\ln x} \, \mathrm{d}x$。
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \int_0^1 \frac{x^p - x^q}{\ln x} \, \mathrm{d}x
&= \displaystyle \int_0^1 \left( \int_q^p x^y \, \mathrm{d}y\right) \, \mathrm{d}x \\
&= \displaystyle \int_q^p \left( \int_0^1 x^y \, \mathrm{d}x \right) \, \mathrm{d}y \\
&= \displaystyle \int_q^p \frac{1}{y+1} \, \mathrm{d}y \\
&= \displaystyle \ln \frac{p+1}{q+1}
\end{array}
$$