多元函数的极限与连续性
本文详细介绍了多元函数的极限与连续性的基本概念和计算方法。首先，定义了平面点集中的邻域和去心邻域，讨论了点与点集的关系，如内点、外点和边界点，以及开集、闭集、连通集等相关概念。接着，阐述了二元函数的极限定义，强调了极限值与趋近路径无关的重要性，并提供了判断极限不存在的方法。文章还介绍了二元函数极限的计算技巧，包括利用夹逼定理、等价无穷小和特殊趋近路径等方法。随后，讨论了二重极限与累次极限的关系，指出了二者存在性之间的差异，以及在计算过程中需要注意的事项。最后，深入探讨了二元函数的连续性，给出了函数在一点处连续的定义，并讨论了连续函数在有界闭区域上的重要性质，如有界性、最大最小值定理和介值定理。通过本文的学习，读者可以全面掌握多元函数极限与连续性的理论基础，为进一步研究高等数学奠定坚实的基础。
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平面点集¶
去心邻域与邻域¶
设 \(P(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2\)，则 \(P\) 的 \(\delta\) 去心邻域定义为
\(P\) 的 \(\delta\) 邻域定义为
不指定 \(\delta\) 时，写作 \(U^{0}(P)\) 和 \(U(P)\)。
点与点集的关系¶
使用邻域，可以将点与点集的关系描述为三种关系：内点、外点、边界点。
内点：若存在 \(\delta > 0\)，使得 \(U(P, \delta) \subset E\)，则称 \(P\) 为 \(E\) 的内点。\(E\) 的内点构成的集合称为 \(E\) 的内部，记为 \(\text{int}\ E\)。内点一定属于 \(E\)。
外点：若存在 \(\delta > 0\)，使得 \(U(P, \delta) \cap E = \varnothing\)，则称 \(P\) 为 \(E\) 的外点。\(E\) 的外点构成的集合称为 \(E\) 的外部，记为 \(\text{ext}\ E\)。外点一定不属于 \(E\)。
边界点：若对任意 \(\delta > 0\)，\(U(P, \delta)\) 中既有 \(E\) 的内点，又有 \(E\) 的外点，则称 \(P\) 为 \(E\) 的边界点。\(E\) 的边界点构成的集合称为 \(E\) 的边界，记为 \(\partial E\)。边界点可能属于 \(E\)，也可能不属于 \(E\)（考虑一元情况下的闭区间和开区间）。
开集与闭集、连通集、有界集与无界集¶
如果平面点集 \(E\) 的每一个点都是 \(E\) 的内点，则称 \(E\) 为开集。
反之，如果平面点集 \(\mathbb{R}^2 \backslash E\) 的每一个点都是 \(\mathbb{R}^2 \backslash E\) 的内点，则称 \(E\) 为闭集。
如果 \(E\) 中任意两点都可以用折线段连接，则称 \(E\) 为连通集。
如果存在 \(r > 0\)，使得 \(E \subset U(O, r)\)，则称 \(E\) 为有界集。
二元函数的极限（二重极限）¶
二元函数的极限定义¶
定义 设二元函数 \(f(x, y)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 的某个去心邻域 \(U^{0}(P_0)\) 中有定义，若存在常数 \(A\)，对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，总存在 \(\delta > 0\)，使得当 \((x, y) \in U^{0}(P, \delta)\) 时，有 \(|f(x, y) - A| < \varepsilon\) 恒成立，则称当 \((x, y) \rightarrow (x_0, y_0)\) 时，\(f(x, y)\) 以 \(A\) 为极限，记作以下四种等价形式：
极限值与点 \((x, y)\) 趋近 \((x_0, y_0)\) 的路径无关。
因此，判定二元函数极限不存在可以通过「选取不同的趋近路径，得到不同的极限值，或其中至少一个趋近路径的极限不存在」来说明。
二元函数的极限计算¶
一元函数中与极限有关的性质在二元函数中仍然成立，但不包括单调有界定理和洛必达法则。
对于二元函数的极限，可以使用以下方法进行计算：
由于 \(f \rightarrow 0\) 和 \(|f| \rightarrow 0\) 等价（由定义易知），对于极限预期为 \(0\) 的情况，可以通过取绝对值 + 放缩不等式 + 夹逼定理来证明极限存在并求出极限值，例如：
例1. 求 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow +\infty \\ y \rightarrow +\infty}} \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}\)。
由于：
Note
\(|x^2 - xy + y^2| \geq |2|xy| - xy|\) 是因为基本不等式 \(|x|^2 + |y|^2 \geq 2|x|\cdot|y|\)，
从而 \(x^2 - xy + y^2 \geq 2|xy| - xy \geq 0\)，同号情况下取绝对值后不等关系不变。
由于 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow +\infty \\ y \rightarrow +\infty}} \left(\frac{1}{|x|} + \frac{1}{|y|}\right) = 0\)（使用极限运算的四则运算法则拆分计算），从而根据夹逼定理，原极限为 \(0\)。
等价代换，只要被等价代换的项满足条件即可代换，例如 \((x, y) \rightarrow (0, 0)\) 时， \(xy \rightarrow 0\)，因此可以将一元函数中的 \(\sin x \sim x\) 应用到二元函数中：\(\sin(xy) \sim xy\)。例如：
例2/a. 求 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{xy^2 \sin(xy)}{x^2 + y^4}\)。
作等价代换 \(\sin(xy) \sim xy\)，则原极限等价于 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{xy^2 \cdot xy}{x^2 + y^4}\)，由于：
则根据夹逼定理，原极限为 \(0\)。
有界量乘以无穷小量仍为无穷小量，例如：
例2/b. 求 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{xy^2 \sin(xy)}{x^2 + y^4}\)。
由于 \(0 \leq \displaystyle \left| \frac{xy^2}{x^2 + y^4} \right| \leq \frac{1}{2}\left| \frac{x^2 + y^4}{x^2 + y^4}\right| = \frac{1}{2}\)，
而 \((x, y)\rightarrow (0, 0)\) 时 \(\sin xy \rightarrow 0\)，则根据有界量乘以无穷小量仍为无穷小量，得到原极限为 \(0\)。
旁门左道：选取特殊的趋近路径，例如当 \((x, y) \rightarrow (0, 0)\) 时，令 \(y = x\) 或 \(y = x^2\)，使用 \(x\) 的表达式替换独立变量 \(y\)，将其转化为某一易于计算的一元函数极限。只要函数极限的存在性已被证明，这种方法就能够快速地求出二元函数的极限。
二重极限和累次极限¶
累次极限规定了极限计算顺序，本质上是在求解两个一次极限。
累次极限和二重极限中「垂直于另一条坐标轴的路径」计算出的极限值的关系是：累次极限可以看作是「垂直于坐标轴的直线」以「垂直于另一条坐标轴的路径」为趋近的路径计算得到的极限。而二重极限则是「点」以「垂直于另一条坐标轴的路径」为趋近的路径计算得到的极限
累次极限存在，二重极限不一定存在。 例如对于函数 \(f(x, y) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2xy}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 \neq 0 \end{cases}\)，累次极限 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(\lim_{y \rightarrow 0} f(x, y)\right) = \displaystyle \lim_{y \rightarrow 0} \left(\lim_{x \rightarrow 0} f(x, y)\right) = 0\)，然而二重极限 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)\) 不存在（取路径 \(y = kx\)，不同的 \(k\) 将得到不同的二重极限值）。
二重极限存在，累次极限不一定存在。 例如对于函数 \(\displaystyle f(x,y) = x\sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}\)，二重极限 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y) = 0\)（夹逼定理可得），然而累次极限 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(\lim_{y \rightarrow 0} f(x, y)\right)\) 和 \(\displaystyle \lim_{y \rightarrow 0} \left(\lim_{x \rightarrow 0} f(x, y)\right)\) 均不存在。
定理 如果二重极限 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y)\) 和 累次极限 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \left( \lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) \right)\) 、\(\displaystyle \lim_{y \rightarrow y_0} \left( \lim_{x \rightarrow x_0} f(x, y) \right)\) 均存在，则三者的极限值相等。
推论 如果累次极限 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \left( \lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) \right)\) 和 \(\displaystyle \lim_{y \rightarrow y_0} \left( \lim_{x \rightarrow x_0} f(x, y) \right)\) 存在且值不相等，则二重极限 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y)\) 不存在。
二元函数的连续性¶
定义 如果二元函数 \(f(x, y)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 的某个邻域 \(U(P_0)\) 中有定义，且 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y) = f(x_0, y_0)\)，则称 \(f(x, y)\) 在点 \(P_0\) 处连续。
如果引入全增量 \(\Delta z = f(x, y) - f(x_0, y_0)\)，则连续性可以表述为：\(\displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \Delta z = 0\)。
如果函数 \(f(x, y)\) 在闭区域 \(G\) 的每一个内点都连续，并且在边界点 \(P_0\) 处有 \(\displaystyle \lim_{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in G}} f(P) = f(P_0)\)，则称 \(f(x, y)\) 在闭区域 \(G\) 上连续。
与有界闭区间上的连续一元函数类似地，在有界闭区域 \(G\) 上连续的函数 \(f(x, y)\) 满足：
- 有界性：\(f(x, y)\) 在 \(G\) 上有界；
- 最大最小值定理：\(f(x, y)\) 在 \(G\) 存在最大值和最小值；
- 介值定理：\(f(x, y)\) 在 \(G\) 上取得介于最大值和最小值之间的任意值。