多元函数微分学的前置知识。
平面点集
去心邻域与邻域
设 $P(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$，则 $P$ 的 $\delta$ 去心邻域定义为
$$U^{0}(P, \delta) = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \}
$$
$P$ 的 $\delta$ 邻域定义为
$$U(P, \delta) = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 | 0 \leq \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \}
$$
不指定 $\delta$ 时，写作 $U^{0}(P)$ 和 $U(P)$。
点与点集的关系
使用邻域，可以将点与点集的关系描述为三种关系：内点、外点、边界点。
内点：若存在 $\delta > 0$，使得 $U(P, \delta) \subset E$，则称 $P$ 为 $E$ 的内点。$E$ 的内点构成的集合称为 $E$ 的内部，记为 $\text{int}\ E$。内点一定属于 $E$。
外点：若存在 $\delta > 0$，使得 $U(P, \delta) \cap E = \varnothing$，则称 $P$ 为 $E$ 的外点。$E$ 的外点构成的集合称为 $E$ 的外部，记为 $\text{ext}\ E$。外点一定不属于 $E$。
边界点：若对任意 $\delta > 0$，$U(P, \delta)$ 中既有 $E$ 的内点，又有 $E$ 的外点，则称 $P$ 为 $E$ 的边界点。$E$ 的边界点构成的集合称为 $E$ 的边界，记为 $\partial E$。边界点可能属于 $E$，也可能不属于 $E$（考虑一元情况下的闭区间和开区间）。
开集与闭集、连通集、有界集与无界集
如果平面点集 $E$ 的每一个点都是 $E$ 的内点，则称 $E$ 为开集。
反之，如果平面点集 $\mathbb{R}^2 \backslash E$ 的每一个点都是 $\mathbb{R}^2 \backslash E$ 的内点，则称 $E$ 为闭集。
如果 $E$ 中任意两点都可以用折线段连接，则称 $E$ 为连通集。
如果存在 $r > 0$，使得 $E \subset U(O, r)$，则称 $E$ 为有界集。
二元函数的极限（二重极限）
二元函数的极限定义
定义 设二元函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个去心邻域 $U^{0}(P_0)$ 中有定义，若存在常数 $A$，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，使得当 $(x, y) \in U^{0}(P, \delta)$ 时，有 $|f(x, y) - A| < \varepsilon$ 恒成立，则称当 $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$ 时，$f(x, y)$ 以 $A$ 为极限，记作以下四种等价形式：
$$\begin{array}{cc}
\displaystyle \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) = A &&
\displaystyle \lim_{P \rightarrow P_0} f(x, y) = A \\
\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y) = A &&
\displaystyle f(x, y) \rightarrow A \ (x \rightarrow x_0, y \rightarrow y_0)
\end{array}
$$
极限值与点 $(x, y)$ 趋近 $(x_0, y_0)$ 的路径无关。
因此，判定二元函数极限不存在可以通过「选取不同的趋近路径，得到不同的极限值，或其中至少一个趋近路径的极限不存在」来说明。
二元函数的极限计算
一元函数中与极限有关的性质在二元函数中仍然成立，但不包括单调有界定理和洛必达法则。
对于二元函数的极限，可以使用以下方法进行计算：
由于 $f \rightarrow 0$ 和 $|f| \rightarrow 0$ 等价（由定义易知），对于极限预期为 $0$ 的情况，可以通过取绝对值 + 放缩不等式 + 夹逼定理来证明极限存在并求出极限值，例如：
例1. 求 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow +\infty \\ y \rightarrow +\infty}} \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2}$。
由于：
$$\begin{array}{lll}
0 & \leq
\displaystyle \left| \frac{x + y}{x^2 - xy + y^2} \right|
& = \displaystyle \frac{|x + y|}{|x^2 - xy + y^2|} \\
&& \displaystyle \leq \frac{|x + y|}{|2|xy| - xy|} \\
&& \displaystyle \leq \frac{|x| + |y|}{|2|xy| - xy|} \\
&& \displaystyle \leq \frac{|x| + |y|}{|xy|} \\
&& \displaystyle = \frac{1}{|x|} + \frac{1}{|y|}\\
\end{array}
$$
$|x^2 - xy + y^2| \geq |2|xy| - xy|$ 是因为基本不等式 $|x|^2 + |y|^2 \geq 2|x|\cdot|y|$，
从而 $x^2 - xy + y^2 \geq 2|xy| - xy \geq 0$，同号情况下取绝对值后不等关系不变。
由于 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow +\infty \\ y \rightarrow +\infty}} \left(\frac{1}{|x|} + \frac{1}{|y|}\right) = 0$（使用极限运算的四则运算法则拆分计算），从而根据夹逼定理，原极限为 $0$。
等价代换，只要被等价代换的项满足条件即可代换，例如 $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ 时， $xy \rightarrow 0$，因此可以将一元函数中的 $\sin x \sim x$ 应用到二元函数中：$\sin(xy) \sim xy$。例如：
例2/a. 求 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{xy^2 \sin(xy)}{x^2 + y^4}$。
作等价代换 $\sin(xy) \sim xy$，则原极限等价于 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{xy^2 \cdot xy}{x^2 + y^4}$，由于：
$$\begin{array}{ll}
0 &\leq \displaystyle \left| \frac{xy^2 \cdot xy}{x^2 + y^4} \right| \\
&\leq \displaystyle \left| \frac{x^2y^3}{2xy^2} \right| = \frac{1}{2} |xy| \rightarrow 0
\end{array}
$$
则根据夹逼定理，原极限为 $0$。
有界量乘以无穷小量仍为无穷小量，例如：
例2/b. 求 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{xy^2 \sin(xy)}{x^2 + y^4}$。
由于 $0 \leq \displaystyle \left| \frac{xy^2}{x^2 + y^4} \right| \leq \frac{1}{2}\left| \frac{x^2 + y^4}{x^2 + y^4}\right| = \frac{1}{2}$，
而 $(x, y)\rightarrow (0, 0)$ 时 $\sin xy \rightarrow 0$，则根据有界量乘以无穷小量仍为无穷小量，得到原极限为 $0$。
旁门左道：选取特殊的趋近路径，例如当 $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ 时，令 $y = x$ 或 $y = x^2$，使用 $x$ 的表达式替换独立变量 $y$，将其转化为某一易于计算的一元函数极限。只要函数极限的存在性已被证明，这种方法就能够快速地求出二元函数的极限。
二重极限和累次极限
累次极限规定了极限计算顺序，本质上是在求解两个一次极限。
累次极限和二重极限中「垂直于另一条坐标轴的路径」计算出的极限值的关系是：累次极限可以看作是「垂直于坐标轴的直线」以「垂直于另一条坐标轴的路径」为趋近的路径计算得到的极限。而二重极限则是「点」以「垂直于另一条坐标轴的路径」为趋近的路径计算得到的极限
累次极限存在，二重极限不一定存在。 例如对于函数 $f(x, y) = \begin{cases} \displaystyle \frac{2xy}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 \neq 0 \end{cases}$，累次极限 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(\lim_{y \rightarrow 0} f(x, y)\right) = \displaystyle \lim_{y \rightarrow 0} \left(\lim_{x \rightarrow 0} f(x, y)\right) = 0$，然而二重极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)$ 不存在（取路径 $y = kx$，不同的 $k$ 将得到不同的二重极限值）。
二重极限存在，累次极限不一定存在。 例如对于函数 $\displaystyle f(x,y) = x\sin \frac{1}{y} + y \sin \frac{1}{x}$，二重极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y) = 0$（夹逼定理可得），然而累次极限 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left(\lim_{y \rightarrow 0} f(x, y)\right)$ 和 $\displaystyle \lim_{y \rightarrow 0} \left(\lim_{x \rightarrow 0} f(x, y)\right)$ 均不存在。
定理 如果二重极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y)$ 和 累次极限 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \left( \lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) \right)$ 、$\displaystyle \lim_{y \rightarrow y_0} \left( \lim_{x \rightarrow x_0} f(x, y) \right)$ 均存在，则三者的极限值相等。
推论 如果累次极限 $\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \left( \lim_{y \rightarrow y_0} f(x, y) \right)$ 和 $\displaystyle \lim_{y \rightarrow y_0} \left( \lim_{x \rightarrow x_0} f(x, y) \right)$ 存在且值不相等，则二重极限 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y)$ 不存在。
二元函数的连续性
定义 如果二元函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0(x_0, y_0)$ 的某个邻域 $U(P_0)$ 中有定义，且 $\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y) = f(x_0, y_0)$，则称 $f(x, y)$ 在点 $P_0$ 处连续。
如果引入全增量 $\Delta z = f(x, y) - f(x_0, y_0)$，则连续性可以表述为：$\displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \Delta z = 0$。
如果函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $G$ 的每一个内点都连续，并且在边界点 $P_0$ 处有 $\displaystyle \lim_{\substack{P \rightarrow P_0 \\ P \in G}} f(P) = f(P_0)$，则称 $f(x, y)$ 在闭区域 $G$ 上连续。
与有界闭区间上的连续一元函数类似地，在有界闭区域 $G$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 满足：
- 有界性：$f(x, y)$ 在 $G$ 上有界；
- 最大最小值定理：$f(x, y)$ 在 $G$ 存在最大值和最小值；
- 介值定理：$f(x, y)$ 在 $G$ 上取得介于最大值和最小值之间的任意值。