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多元函数的导数与微分

本文详细介绍了多元函数的导数与微分的基本概念和计算方法。首先定义了多元函数的偏导数，解释了全增量和偏增量的概念，并给出了偏导数的定义和计算方法。接着，讨论了高阶偏导数与混合偏导数，介绍了它们的定义和计算技巧，并证明了混合偏导数在一定条件下可以交换次序。随后，文章探讨了多元函数的全微分，定义了全微分的概念，并讨论了可微性与连续性、可微性与可导性的关系。文章还介绍了复合函数的求导法（链式法则），并通过实例说明了其应用。最后，讨论了隐函数求导法则、场的方向导数与梯度、多元函数的泰勒公式以及多元函数的极值与最值的求法，包括无条件极值和条件最值（拉格朗日乘数法）。通过本文的学习，读者可以全面掌握多元函数导数与微分的基本理论和计算技巧，为进一步研究和应用奠定坚实的基础。

（摘要由 OpenAI GPT 4o 生成）

多元函数的偏导数

偏导数的定义

全增量 \(\Delta z = f(x, y) - f(x_0, y_0)\)。

偏增量 \(\Delta_x z = f(x, y) - f(x_0, y)\)；\(\Delta_y z = f(x, y) - f(x, y_0)\)。

定义 设二元函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 的某个邻域内有定义，若极限

\[ \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x, y_0) - f(x_0, y_0)}{x - x_0} \]

存在，则称此极限为函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处对 \(x\) 的偏导数，记作 \(\displaystyle f'_x(x_0, y_0)\) 或 \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} f \bigg|_{(x_0, y_0)}\) 或 \(\displaystyle z'_x(x_0, y_0)\) 或 \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(x_0, y_0)}\)。

否则称函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处对 \(x\) 的偏导数不存在。

对 \(y\) 的偏导数定义类似。

如果二元函数 \(z = f(x, y)\) 在区域 \(G\) 上的每一点 \((x, y)\) 极限 \(\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta z}{\Delta x}\) 都存在，则称 \(f(x, y)\) 在 \(G\) 上对 \(x\) 可导，称通过此极限得到的关于 \(x, y\) 的函数为函数 \(z = f(x, y)\) 对 \(x\) 的偏导函数，记作 \(\displaystyle f'_z(x, y)\) 或 \(\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)\)。

计算对 \(x\) 的偏导函数时，根据偏导数的定义，这等价于：将 \(y\) 视为常数，在得到的关于 \(x\) 的一元函数中对 \(x\) 求导。

因此，一元函数的求导法则可以直接应用于多元函数的偏导数的计算。

计算二元函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处对 \(x\) 的偏导数时，可以先代入 \(y = y_0\)，得到一元函数 \(z = f(x, y_0)\)，再对 \(x\) 求导，从而简化计算。

高阶偏导数与混合偏导数

二元函数的偏导数仍然是二元函数，因此可以继续对其求偏导数。假设二元函数 \(z = f(x, y)\) 的一阶偏导函数 \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\) 、\(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}\) 都存在，则可以继续对其求偏导数，得到二阶偏导数：

\[ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial x} && \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial z}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial z}{\partial y} \end{array} \]

依次记作：

\[ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} & \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} && \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} & \displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \end{array} \]

或者

\[ \begin{array}{c} \displaystyle f''_{xx}(x, y) & \displaystyle f''_{xy}(x, y) && \displaystyle f''_{yx}(x, y) & \displaystyle f''_{yy}(x, y) \end{array} \]

定理 若二元函数 \(z = f(x, y)\) 的二阶偏导数 \(f''_{xy}(x, y)\) 和 \(f''_{yx}(x, y)\) 都在 \((x_0, y_0)\) 处连续，则有 \(f''_{xy}(x_0, y_0) = f''_{yx}(x_0, y_0)\)。

证明.

由于 \(f''_{xy}(x, y)\)、\(f''_{yx}(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 处连续，因此这两个函数在 \((x_0, y_0)\) 的邻域内有定义，取充分小的 \(\Delta x\)，\(\Delta y\)（\(\Delta x\)，\(\Delta y\) 均不为 \(0\)），可以使得 \((x_0 + \Delta x, y_0)\)、\((x_0, y_0 + \Delta y)\)、\((x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)\) 三点均在 \((x_0, y_0)\) 的邻域内。

令 \(\varphi(x) = f(x, y_0 + \Delta y) - f(x, y_0)\)，\(\psi(y) = f(x_0 + \Delta x, y) - f(x_0, y)\)。

对 \(\varphi(x)\) 使用拉格朗日中值定理，有 \(\varphi(x) = f'_y(x, y_0 + \theta_1 \Delta y) \Delta y\)，其中 \(\theta _1 \in (0, 1)\)。

Note

此处拉格朗日中值定理适用的原因是：对于每一个固定的 \(x\)，关于 \(y\) 的一元函数 \(f(x, y)\) 在闭区间 \(y \in [y_0, y_0 + \Delta y]\) 上连续且在开区间 \(y \in (y_0, y_0 + \Delta y)\) 可导。

由于 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处二阶可导，必然存在一个邻域，使得 \(f(x, y)\) 在该邻域内一阶可导。

同理，对 \(\psi(y)\) 使用拉格朗日中值定理，有 \(\psi(y) = f'_x(x_0 + \theta_2 \Delta x, y) \Delta x\)，其中 \(\theta _2 \in (0, 1)\)。

考虑

\[ W = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0 + \Delta y) + f(x_0, y_0) \]

有 \(W = \varphi(x_0 + \Delta x) - \varphi(x_0) = \psi(y_0 + \Delta y) - \psi(y_0)\)。

对 \(\varphi(x_0 + \Delta x) - \varphi(x_0)\) 使用一元函数的拉格朗日中值定理，得到 \(\varphi(x_0 + \Delta x) - \varphi(x_0) = \varphi'_x(x_0 + \theta _3 \Delta x) \Delta x\)，其中 \(\theta _3 \in (0, 1)\)。

Note

此处拉格朗日中值定理适用的原因是：\(\varphi(x) = f'_y(x, y_0 + \theta_1 \Delta y) \Delta y\)

由于 \(f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处二阶可导，必然存在一个邻域，使得 \(f(x, y)\) 在该邻域内一阶偏导数连续可导。

整理可得：\(W = f''_{yx}(x_0 + \theta _3\Delta x, y_0 + \theta_1 \Delta y) \Delta y \Delta x\)。

同理，对 \(\psi(y_0 + \Delta y) - \psi(y_0)\) 使用一元函数的拉格朗日中值定理，得到 \(\psi(y_0 + \Delta y) - \psi(y_0) = \psi'_y(y_0 + \theta _4 \Delta y) \Delta y\)，其中 \(\theta _4 \in (0, 1)\)。

整理可得：\(W = f''_{xy}(x_0 + \theta _2\Delta x, y_0 + \theta_4 \Delta y) \Delta y \Delta x\)。

因此，有 \(f''_{xy}(x_0 + \theta _2\Delta x, y_0 + \theta_4 \Delta y) = f''_{yx}(x_0 + \theta _3\Delta x, y_0 + \theta_1 \Delta y) = A\)。

当 \(\Delta x \rightarrow 0\)，\(\Delta y \rightarrow 0\) 时，有 \(A = f''_{xy}(x_0 + \theta _2\Delta x, y_0 + \theta_4 \Delta y) \rightarrow f''_{xy}(x_0, y_0)\)。因为 \(f''_{xy}(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 处连续，所以 \(A = f''_{xy}(x_0, y_0)\)。

同理，\(A = f''_{yx}(x_0, y_0)\)。

因此，\(f''_{xy}(x_0, y_0) = f''_{yx}(x_0, y_0)\)。\(\blacksquare\)

同理可证，对于更高维度的多元函数和更高的求导阶数，只要偏导函数在 \((x_0, y_0, \dots)\) 处连续，那么混合偏导的值与求导的顺序无关。

多元函数的全微分

一元函数的微分

若 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = A \cdot \Delta x + \omicron(\Delta x)\)，称函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 可微，\(A \cdot \Delta x\) 为该点的微分，用记号 \(dy\) 表示。

我们探究一元函数中可微和可导的关系：

若函数 \(y = f(x)\) 在 \(x_0\) 处可微，则在 \(x_0\) 处，有 \(\Delta y - A \cdot \Delta x = \omicron(\Delta x)\)，即 \(\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y - A \cdot \Delta x}{\Delta x} = 0\)，也即 \(\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A\)。这恰好是函数 \(y = f(x)\) 在 \(x_0\) 处导数值的定义。

因此，一元函数在某点可微和在该点可导是等价的。

多元函数的全微分

定义 若二元函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的全增量 \(\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)\) 可表示为

\[ \Delta z = A \Delta x + B \Delta y + \omicron(\rho)\quad (\rho := \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2},\ \Delta x,\ \Delta y \rightarrow 0) \]

并且 \(A\)、\(B\) 与 \(\Delta x\)、\(\Delta y\) 无关，称函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，\(A \Delta x + B \Delta y\) 为该点的全微分，用记号 \(\mathrm{d}z\) 表示。

Note

上式 \(\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + \omicron(\rho)\) 存在若干种等价形式，包括不涉及 \(\Delta x\)、\(\Delta y\) 的形式，此处不一一列举。

定理 若二元函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，则有二元函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续。（可微一定连续）

证明.

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow x_0 \\ y \rightarrow y_0}} f(x, y) &= \displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) \\ &= \displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \left( \Delta z + f(x_0, y_0) \right) \\ &= \displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \left( A \Delta x + B \Delta y + \omicron(\rho)\right)+ f(x_0, y_0) \\ &= f(x_0, y_0) \quad \blacksquare \end{array} \]

定理 若二元函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，则 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处的两个偏导数 \(f'_x(x_0, y_0)\)，\(f'_y(x_0, y_0)\) 均存在，且有 \(f'_x(x_0, y_0) = A\)，\(f'_y(x_0, y_0) = B\)。（可微一定可导）

证明.

由于 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微，因此有 \(\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + \omicron(\rho)\)。令 \(\Delta y = 0\)，则有 \(\Delta z = A \Delta x + \omicron(|\Delta x|)\)，以及 \(\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0) = \Delta_x z\)。

因此：

\[ f'_x(x_0, y_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_x z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{A \Delta x + \omicron(|\Delta x|)}{\Delta x} = A \]

同理，令 \(\Delta x = 0\)，有 \(f'_y(x_0, y_0) = B\)。\(\blacksquare\)

然而，可导不一定可微。例如，函数 \(f(x, y) = |x| + |y|\) 在点 \((0, 0)\) 处可导，但不可微。

例如函数 \(f(x, y) = \begin{cases}\displaystyle \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\0, & (x, y) = (0, 0)\end{cases}\)，在点 \((0, 0)\) 处的偏导数：

\[ \begin{array}{ll} \displaystyle f'_x(0, 0) &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{0}{h^2} - 0}{h} = 0 \\ \displaystyle f'_y(0, 0) &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(0, h) - f(0, 0)}{h} \\ &= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{\frac{0}{h^2} - 0}{h} = 0 \end{array} \]

而在点 \((0, 0)\) 处，极限

\[ \begin{array}{ll} \displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{[f(x, y) - 0] - [f'_x(0, 0) \cdot (x - 0) + f'_y(0, 0) \cdot (y - 0)]}{\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}} &= \displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\frac{xy}{x^2 + y^2} - 0}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\ &= \displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{xy}{(x^2 + y^2)^{3/2}} \end{array} \]

选取路径 \(y = x\)，有 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{xy}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{(2x^2)^{3/2}} = \frac{1}{2^{3/2}x} \rightarrow \infty\)；

选取路径 \(y = x^2\)，有 \(\displaystyle \lim_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{xy}{(x^2 + y^2)^{3/2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{(1 + x^2)^{3/2}} = 1\)。

从而上述二重极限不存在，因此函数 \(f(x, y)\) 在点 \((0, 0)\) 处不可微。

判断二元函数在某点是否可微的一般方法

根据微分的定义：

  1. 计算偏导数 \(f'_x(x_0, y_0)\)，\(f'_y(x_0, y_0)\) 是否存在（先排除简单的微分不存在的情况，同理可以通过判断连续性排除一些情况）；
  2. 如果偏导数存在，计算极限 \(\displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\Delta z - f'_x(x_0, y_0) \Delta x - f'_y(x_0, y_0) \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}}\) 是否为 \(0\)。

定理 如果二元函数 \(z = f(x, y)\) 的偏导数 \(f'_x(x, y)\)，\(f'_y(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续，则 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微。（可微的充分条件）

证明.

\[ \begin{array}{ll} \displaystyle \Delta z \displaystyle &= f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) \\ &= \displaystyle f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0 + \Delta x, y_0) + f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0) \\ &= \displaystyle f'_y(x_0 + \Delta x, y_0 + \theta_1 \Delta y) \Delta y + f'_x(x_0 + \theta_2 \Delta x, y_0) \Delta x \quad (\theta_1, \theta_2 \in (0, 1)) \end{array} \]

由于 \(f'_x(x, y)\)，\(f'_y(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处连续，因此有 \(\displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} f'_y(x_0 + \Delta x, y_0 + \theta_1 \Delta y) = f'_y(x_0, y_0)\)，\(\displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} f'_x(x_0 + \theta_2 \Delta x, y_0) = f'_x(x_0, y_0)\)。

有 \(\displaystyle f'_y(x_0 + \Delta x, y_0 + \theta_1 \Delta y) = f'_y(x_0, y_0) + \omicron(\Delta x, \Delta y)\)，\(\displaystyle f'_x(x_0 + \theta_2 \Delta x, y_0) = f'_x(x_0, y_0) + \omicron(\Delta x, \Delta y)\)。

因此 \(\Delta z = f'_y(x_0, y_0) \Delta y + f'_x(x_0, y_0) \Delta x + \omicron(\Delta x, \Delta y) \Delta x + \omicron(\Delta x, \Delta y) \Delta y\)。

而

\[ \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\omicron(\Delta x, \Delta y) \Delta x + \omicron(\Delta x, \Delta y) \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = 0 + 0 = 0 \]

因此 \(\Delta z = f'_y(x_0, y_0) \Delta y + f'_x(x_0, y_0) \Delta x + \omicron(\rho)\)，即 \(z = f(x, y)\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处可微。\(\blacksquare\)

在上面的式子中，由全微分的定义 \(\mathrm{d}z := A \Delta x + B \Delta y\)，有

\[ \mathrm{d}z = \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{d}y \]

定理 若 \(P(x, y)\) 和 \(Q(x, y)\) 的偏导数存在且连续，则微分式 \(\mathrm{d}z = P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y\) 是某个函数的全微分的充要条件是 \(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)。

证明.

充分性（\(\Rightarrow\)）：设 \(\mathrm{d}z = P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y\) 是函数 \(f(x, y)\) 的全微分，那么

\[ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\ \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} \end{array} \]

由 \(P(x, y)\) 和 \(Q(x, y)\) 的偏导数连续，从而 \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) 和 \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\) 也是连续函数，连续的混合偏导数可以交换次序，因此 \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)，从而 \(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\)。

必要性（\(\Leftarrow\)）：设 \(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} = g(x, y)\)，只需要证明对 \(g(x, y)\) 的二重积分 \(\displaystyle \int \int g(x, y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y\) 和 \(\displaystyle \int \int g(x, y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x\) 的结果相同，这样就能够找到全微分恰为 \(\mathrm{d}z = P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y\) 的函数 \(f(x, y)\)。

TODO

证明细节

由充分性和必要性，得证。\(\blacksquare\)

复合函数求导法（链式法则）

定理 若二元函数 \(z = f(u, v) = f(\varphi(x, y), \psi(x, y))\) 在点 \((u, v) = (\varphi(x, y), \psi(x, y))\) 处可微，并且函数 \(u = \varphi(x, y)\) 和 \(v = \psi(x, y)\) 在点 \((x, y)\) 的偏导数都存在，则复合函数 \(z = f(\varphi(x, y), \psi(x, y))\) 在点 \((x, y)\) 处的偏导数都存在，并且有：（链式法则）

\[ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} &= \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} &= \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \end{array} \]

证明. 由于 \(z = f(u, v)\) 在点 \((u, v) = (\varphi(x, y), \psi(x, y))\) 处可微，因此 \(z\) 在点 \((u, v)\) 处的全增量

\[ \Delta z = \frac{\partial z}{\partial u} \Delta u + \frac{\partial z}{\partial u} \Delta v + \varepsilon_1 \Delta u + \varepsilon_2 \Delta v \]

其中 \(\displaystyle \lim_{\substack{\Delta u \rightarrow 0 \\ \Delta v \rightarrow 0}} \varepsilon_1 = 0\)，\(\displaystyle \lim_{\substack{\Delta u \rightarrow 0 \\ \Delta v \rightarrow 0}} \varepsilon_2 = 0\)。

展开有

\[ f(\varphi(x', y'), \psi(x', y')) - f(\varphi(x, y), \psi(x ,y)) = \frac{\partial z}{\partial u} (\varphi(x', y') - \varphi(x, y)) + \frac{\partial z}{\partial v} (\psi(x', y') - \psi(x, y)) + \varepsilon_1 \Delta u + \varepsilon_2 \Delta v \]

作换元 \(\begin{cases}\varphi(x', y') - \varphi(x, y) = \varphi(x + \Delta x, y) - \varphi(x, y) \\ \psi(x', y') - \psi(x, y) = \psi(x, y + \Delta y) - \psi(x, y)\end{cases}\)，有

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle f(\varphi(x + \Delta x, y), \psi(x + \Delta x, y)) - f(\varphi(x, y), \psi(x ,y)) &= \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} \varphi(x + \Delta x, y) - \varphi(x, y) + \frac{\partial z}{\partial v} \psi(x, y + \Delta y) - \psi(x, y) + \varepsilon_1 \Delta u + \varepsilon_2 \Delta v \\ \displaystyle \Delta_x z &= \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} \Delta_x u + \frac{\partial z}{\partial v} \Delta_x v + \varepsilon_1 \Delta u + \varepsilon_2 \Delta v \end{array} \]

当 \(\Delta x \rightarrow 0\) 时，有 \(\Delta u \rightarrow 0\)，\(\Delta v \rightarrow 0\)，因此 \(\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \varepsilon_1 = 0\)，\(\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \varepsilon_2 = 0\)。

因此：

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} &= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_x z}{\Delta x} \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\frac{\partial z}{\partial u} \Delta_x u + \frac{\partial z}{\partial v} \Delta_x v + \varepsilon_1 \Delta u + \varepsilon_2 \Delta v}{\Delta x} \\ &= \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_x u}{\Delta x} + \frac{\partial z}{\partial v} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_x v}{\Delta x} + 0 + 0 \end{array} \]

又因为函数 \(u = \varphi(x, y)\) 和 \(v = \psi(x, y)\) 在点 \((x, y)\) 的偏导数都存在，因此有 \(\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_x u}{\Delta x} = \frac{\partial u}{\partial x}\)，\(\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta_x v}{\Delta x} = \frac{\partial v}{\partial x}\)。

从而 \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}\)。对 \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}\) 同理。\(\blacksquare\)

链式法则的图示法

链式法则可以用下图表示1：

chain-rule.png

Note

复合函数的偏导，需要区分先代入后求导，或是先求导后代入。采用某些表达时，可能会造成歧义。

例如，表达式 \(f'_x(x, 2x)\) ，如果未加以说明，难以区分是下面两种情况的哪一种：

  1. 先在 \(f(x, y)\) 中代入 \((x, 2x)\)，然后对 \(x\) 求导，即 \(\displaystyle \frac{d}{dx}[f(x, 2x)]\)；
  2. 先对 \(f(x, y)\) 求 \(x\) 的偏导，然后再偏导函数 \(f'_x(x, y)\) 中代入 \((x, 2x)\)，即 \(f_1'(x, 2x)\)。

为了消歧义：

对 (1) 使用重命名，令 \(z = f(x, 2x)\)，然后使用 \(\displaystyle \frac{dz}{dx}\) ；

对 (2) 使用下标 \(\_ i\) 来表示对多元函数的第 \(i\) 个变量求导。

同样地，对复合函数 \(u = F(x + y, x y)\) ，符号 \(\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}\) 可能会产生歧义：是 (1) 代入 \((x + y, xy)\) 之后，\(F\) 对 \(x\) 的偏导数 或是 (2) \(F\) 对其第一个变量 \(x + y\) 的偏导数，然后代入 \((x + y, xy)\)。按上面的方法，使用：

  1. \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\) 表示复合函数 \(u(x, y)\) 对变量 \(x\) 的偏导数:
    • \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial F(x + y, x y)} {\partial x}\)
  2. \(F'_1\) 表示 \(F\) 对其第一个变量的偏导数:
    • \(F'_1 = \displaystyle \frac{\partial F(x + y, x y)}{\partial (x + y)} = \displaystyle \frac{\partial u}{\partial (x + y)}\)

全微分的一阶形式不变性

定理 若以 \(x, y\) 为自变量的二元函数 \(z = f(x, y)\) 可微，且 \(z = f(x, y)\)，\(x = x(u, v)\)，\(y = y(u, v)\) 都具有连续偏导数，则复合函数 \(z = f(x(u, v), y(u, v))\) 在点 \((u, v)\) 处具有连续偏导数（从而可微）并且有 \(\displaystyle dz = \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv\)。

证明.

\[ \begin{array}{ll} dz &= \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \\ &= \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} \left( \frac{\partial x}{\partial u} du + \frac{\partial x}{\partial v} dv \right) + \frac{\partial z}{\partial y} \left( \frac{\partial y}{\partial u} du + \frac{\partial y}{\partial v} dv \right) \\ &= \displaystyle \left( \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} \right) du + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} \right) dv \\ &= \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv \end{array} \]

这指出求微分对任何的 \((\triangle, \square)\) 都能得到相同形式的结果，无论 \(\begin{cases}\triangle = x \\ \square = y\end{cases}\) 还是多么复杂的表达式。

\[ d\ (\text{expr}) = \frac{\partial}{\partial \triangle}(\text{expr}) d\triangle + \frac{\partial}{\partial \square}(\text{expr}) d\square \]

这也是可以对一个等式两边求全微分的依据。

隐函数求导法则

由单个方程确定的隐函数

方程 \(F(x, y, z) = 0\) 确定隐函数 \(z = z(x, y)\) \(\Leftrightarrow\) \(F(x, y, z(x, y)) \equiv 0\)。

定理 设函数 \(F(x, y, z)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 的某个邻域内存在连续偏导数， 且 \(F(x_0, y_0, z_0) = 0\)，\(F'_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0\)，那么方程 \(F(x, y, z) = 0\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 的某个邻域内始终能够唯一确定隐函数 \(z = f(x, y)\)，且这个隐函数具有连续偏导数，满足 \(z_0 = f(x_0, y_0)\) 以及 \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}\)、\(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z}\)。（隐函数存在定理）

证明.

对 \(F(x, y, z(x, y)) \equiv 0\) 两边对 \(x\) 求偏导数，应用复合函数的求导法则，有 \(\displaystyle F'_x \frac{\partial x}{\partial x} + F'_z \frac{\partial z}{\partial x} = 0\)，因而 \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F'_x}{F'_z}\)。这里 \(F'_z\) 能够放在分母的位置是由于在 \(P_0\) 点连续函数 \(F'_z(P_0) \neq 0\)，这样就能够保证在 \(P_0\) 点某邻域内 \(F'_z\) 不为 \(0\)。

对 \(y\) 同理，有 \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F'_y}{F'_z}\)。

偏导数 \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\)、\(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}\) 在 \(P_0\) 点连续是因为连续函数的四则运算结果仍然是连续函数。\(\blacksquare\)

实际的应用中，求解隐函数的偏导数时，通常也是直接对方程两边求偏导数，然后解方程。（或者也可以通过两边取全微分）

(*)由方程组确定的隐函数组

方程组 \(\begin{cases}F(x, y, u, v) = 0 \\ G(x, y, u, v) = 0\end{cases}\) 确定隐函数组 \(\begin{cases}u = u(x, y) \\ v = v(x, y)\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}F(x, y, u(x, y), v(x, y)) \equiv 0 \\ G(x, y, u(x, y), v(x, y)) \equiv 0\end{cases}\)。

定理 设函数 \(F(x, y, u, v)\)，\(G(x, y, u, v)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)\) 的某个邻域内存在连续偏导数， 且 \(\begin{cases}F(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0 \\ G(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0\end{cases}\)，并且二阶雅可比行列式 \(\displaystyle J = \frac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix} \neq 0\)，那么方程组 \(\begin{cases}F(x, y, u, v) = 0 \\ G(x, y, u, v) = 0\end{cases}\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, u_0, v_0)\) 的某个邻域内始终能够唯一确定隐函数组 \(\begin{cases}u = u(x, y) \\ v = v(x, y)\end{cases}\)，且它们具有连续偏导数，满足 \(\begin{cases}u_0 = u(x_0, y_0) \\ v_0 = v(x_0, y_0)\end{cases}\) 以及

\[ \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{\frac{\partial (F, G)}{\partial (x, v)}}{\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)}} & \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\frac{\partial (F, G)}{\partial (y, v)}}{\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)}} \\ \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, x)}}{\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)}} & \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, y)}}{\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)}} \end{array} \]

证明. 对方程组两边同时对 \(x\) 求偏导数，有

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \\ \displaystyle \frac{\partial G}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} = 0 \end{cases} \]

整理可得

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial F}{\partial u} \\ \displaystyle \frac{\partial G}{\partial u} \end{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} + \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial F}{\partial v} \\ \displaystyle \frac{\partial G}{\partial v} \end{bmatrix} \frac{\partial v}{\partial x} =- \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{\partial F}{\partial x} \\ \displaystyle \frac{\partial G}{\partial x} \end{bmatrix} \]

运用克莱姆法则解关于 \(\displaystyle (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial v}{\partial x})\) 的线性方程组，有：

\[ \begin{cases} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{vmatrix}}{\quad \begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{vmatrix}} = -\frac{\displaystyle \frac{\partial(F, G)}{\partial (x, v)}}{\displaystyle \frac{\partial(F, G)}{\partial (u, v)}} \\ \\ \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{-\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial x} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial x}\end{vmatrix}}{\quad \begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v}\end{vmatrix}} = -\frac{\displaystyle \frac{\partial(F, G)}{\partial (u, x)}}{\displaystyle \frac{\partial(F, G)}{\partial (u, v)}} \end{cases} \]

对 \(y\) 求偏导的情况类似；有关解的存在性的证明、连续性的证明与由单个方程确定的隐函数类似。\(\blacksquare\)

(*)场的方向导数与梯度

数量场的方向导数

设数量场 \(u(x, y, z)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 的某邻域 \(U(P_0) \subset \mathbb{R}^3\) 有定义，\(\overrightarrow{l}\) 是与 \(x\) 轴正向夹角为 \(\alpha\)，与 \(y\) 轴正向夹角为 \(\beta\)，与 \(z\) 轴正向夹角为 \(\gamma\) 的单位向量，\(P(x, y, z)\) 是 \(U(P_0)\) 内满足 \(\overrightarrow{P_0 P} = \lambda \overrightarrow{l}\) （\(\lambda > 0\)）的任意一点，那么称

\[ \lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{u(P) - u(P_0)}{\lambda} = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\Delta_{\mathbf{l}}u}{\lambda} \]

为数量场 \(u(x, y, z)\) 在点 \(P_0\) 沿方向 \(\overrightarrow{l}\) 的方向导数，记作 \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial l}\Bigg|_{P_0}\)。

可微 \(\Rightarrow\) 任意方向的方向导数存在，有以下定理：

定理 若函数 \(u(x, y, z)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\) 可微，则函数 \(u(x, y, z)\) 在点 \(P_0\) 沿任意方向 \(\overrightarrow{l}\) 的方向导数存在，且有

\[ \frac{\partial u}{\partial l}\Bigg|_{P_0} = \frac{\partial u}{\partial x}\Bigg|_{P_0} \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\Bigg|_{P_0} \cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z}\Bigg|_{P_0} \cos \gamma \]

其中 \(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\) 分别是 \(\overrightarrow{l}\) 与 \(x\)，\(y\)，\(z\) 轴正向的夹角（即 \(\displaystyle \frac{\overrightarrow{l}}{|\overrightarrow{l}|} = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\)）。

证明.

由于函数 \(u(x, y, z)\) 在点 \(P_0\) 可微，因此对于 \(U(P_0)\) 内满足 \(\overrightarrow{P_0 P} = \lambda \overrightarrow{l}\) （\(\lambda > 0\)）的任意一点 \(P(x, y, z)\)，都有

\[ \begin{cases} \displaystyle u(P) - u(P_0) = u(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y, z_0 + \Delta z) - u(x_0, y_0, z_0) = \Delta u \\ \displaystyle \Delta u = \frac{\partial u}{\partial x}\Bigg|_{P_0} \Delta x + \frac{\partial u}{\partial y}\Bigg|_{P_0} \Delta y + \frac{\partial u}{\partial z}\Bigg|_{P_0} \Delta z + \omicron(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}) \\ \displaystyle \frac{\Delta x}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}} = \cos \alpha \\ \displaystyle \frac{\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}} = \cos \beta \\ \displaystyle \frac{\Delta z}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}} = \cos \gamma \end{cases} \]

因此

\[ \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0 \\ \Delta z \rightarrow 0}} \frac{\Delta u}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}} = \frac{\partial u}{\partial x}\Bigg|_{P_0} \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\Bigg|_{P_0} \cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z}\Bigg|_{P_0} \cos \gamma \]

由于当 \(\Delta x \rightarrow 0\)，\(\Delta y \rightarrow 0\)，\(\Delta z \rightarrow 0\) 时，\(\lambda \rightarrow 0\)，因此有

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial l}\Bigg|_{P_0} &= \displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\lambda} \\ &= \displaystyle \lim_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0 \\ \Delta z \rightarrow 0}} \frac{\Delta u}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}} \\ &= \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\Bigg|_{P_0} \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\Bigg|_{P_0} \cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z}\Bigg|_{P_0} \cos \gamma \qquad \blacksquare \end{array} \]

任意方向方向导数存在 \(\nRightarrow\) 连续；任意方向方向导数存在 \(\nRightarrow\) 可微，例如函数 \(u(x, y) = \begin{cases}\displaystyle 1, & 0 < x < y^2 \\0, & \text{otherwise}\end{cases}\)，在点 \((0, 0)\) 处不连续，不可微，但在点 \((0, 0)\) 处沿任意方向的方向导数都存在。

取路径上任意一点都满足 \(0 < x < y^2\) 的路径，\(\displaystyle \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} u(x, y) = 1\)；取路径上任意一点都不满足 \(0 < x < y^2\) 的路径，\(\displaystyle \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} u(x, y) = 0\)。从而极限不存在，从而函数在点 \((0, 0)\) 处不连续。因此函数在 \((0, 0)\) 处不可微。

而函数 \(u(x, y)\) 在 \((0, 0)\) 处沿着任意方向的方向导数 \(\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{u(\lambda \cos \alpha, \lambda \sin \alpha) - u(0, 0)}{\lambda} = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{0 - 0}{\lambda} = 0\)。

Note

考虑 \(x = \lambda \cos \alpha > 0\) 时，总是可以取 \(\lambda\) 足够小，使得 \(\displaystyle \lambda < \frac{\cos \alpha}{\sin^2 \alpha}\)（由于 \(\lambda\) 和 \(\alpha\) 相互独立，而 \(\alpha\) 是确定的），从而 \(\lambda \cos \alpha > (\lambda \sin \alpha)^2\)，从而 \(u(\lambda \cos \alpha, \lambda \sin \alpha) = 0\)。

Note

此处不能使用偏导数均存在来论证函数沿各方向的方向导数存在。

任意方向方向导数存在 \(\nRightarrow\) 偏导数均存在。例如函数 \(u(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}\)，该函数在 \((0, 0)\) 处的偏导数均不存在，但函数在 \((0, 0)\) 处沿任意方向的方向导数都存在：\(\displaystyle \lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{u(\lambda \cos \alpha, \lambda \sin \alpha) - u(0, 0)}{\lambda} = \lim_{\lambda \rightarrow 0} \frac{\lambda}{\lambda} = 1\)。

Note

对于不可微的函数，不一定满足 \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial l}\Bigg|_{P_0} = \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\Bigg|_{P_0} \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\Bigg|_{P_0} \cos \beta\)。这是为什么这个函数在 \((0, 0)\) 处任意方向的方向导数都存在，但偏导数不存在的原因。

在几何意义上，沿 \(x\) 轴正方向的方向导数和函数对 \(x\) 的偏导数也是不同的。前者只要求从一个方向逼近时的切线斜率（单侧极限），而后者要求两个方向逼近时的切线斜率都要相同（左右极限相同）。

各个偏导数均存在 \(\nRightarrow\) 所有方向导数存在。例如函数 \(u(x, y) = \begin{cases}\displaystyle 1, & x\cdot y = 0 \\0, & \text{otherwise}\end{cases}\)，在点 \((0, 0)\) 处所有偏导数均存在，但函数在 \((0, 0)\) 处沿不平行于任意坐标轴的方向的方向导数不存在。

数量场的梯度

\[ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial l}\Bigg|_{P_0} &= \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}\Bigg|_{P_0} \cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y}\Bigg|_{P_0} \cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z}\Bigg|_{P_0} \cos \gamma \\ &= \displaystyle \left( \frac{\partial u}{\partial x}\Bigg|_{P_0}, \frac{\partial u}{\partial y}\Bigg|_{P_0}, \frac{\partial u}{\partial z}\Bigg|_{P_0} \right) \cdot \left( \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma \right) \\ &= \displaystyle \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)\Bigg|_{P_0} \cdot \left( \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma \right) \end{array} \]

定义 \(\displaystyle \nabla u := \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)\) 为函数 \(u(x, y, z)\) 的梯度（函数），\(\nabla u(P_0)\) 为函数 \(u(x, y, z)\) 在点 \(P_0\) 处的梯度（值）。从而 \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial l}\Bigg|_{P_0} = \nabla u(P_0) \cdot \overrightarrow{e}_l\)，其中 \(\overrightarrow{e}_l = (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)\) 是与 \(\overrightarrow{l}\) 同方向的单位向量。

由 \(\displaystyle \frac{\partial u}{\partial l}\Bigg|_{P_0} = \nabla u(P_0) \cdot \overrightarrow{e}_l = |\nabla u(P_0)| \cos \theta\)，其中 \(\theta\) 是 \(\nabla u(P_0)\) 与 \(\overrightarrow{l}\) 的夹角，知 \(\nabla u(P_0)\) 的方向是函数 \(u(x, y, z)\) 在点 \(P_0\) 处方向导数最大的方向（此时 \(\cos \theta = 1\)），该方向导数的值为 \(|\nabla u(P_0)|\)。

多元函数的泰勒公式

定理 若函数 \(u = f(x, y)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 的某邻域 \(U(P_0)\) 内具有 \(n + 1\) 阶连续偏导数，则有（多元函数的泰勒定理）

\[ \begin{array}{rl} \displaystyle f(x_0 + h, y_0 + k) &= \displaystyle f(x_0, y_0) + \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)f(x_0, y_0) \\ &+ \displaystyle \frac{1}{2!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(x_0, y_0) \\ &+ \displaystyle \frac{1}{3!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^3 f(x_0, y_0) + \cdots \\ &+ \displaystyle \frac{1}{n!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(x_0, y_0) \\ &+ \displaystyle \frac{1}{(n + 1)!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^{n + 1} f(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \end{array} \]

其中，\(\theta \in (0, 1)\)，\(\displaystyle \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^n\) 按多项式展开，例如 \(\displaystyle \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^2 = h^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2} + 2hk \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} + k^2 \frac{\partial^2}{\partial y^2}\)（连续的混合偏导数可以交换求偏导的顺序）。

证明.

设 \(\psi(t) = f(x_0 + th, y_0 + tk)\)，则 \(\psi(0) = f(x_0, y_0)\)，\(\psi(1) = f(x_0 + h, y_0 + k)\)。

\[ \begin{array}{lcl} \psi'(t) =& \displaystyle \frac{d}{dt} f(x_0 + th, y_0 + tk) &= \displaystyle \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}\right)f(x_0 + th, y_0 + tk) \\ \psi''(t) =& \dots &= \displaystyle \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x_0 + th, y_0 + tk) \\ \psi^{(n)}(t) =& \dots &= \displaystyle \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k \frac{\partial}{\partial y}\right)^n f(x_0 + th, y_0 + tk) \\ \end{array} \]

由一元函数的泰勒定理，存在 \(\theta \in (0, 1)\)，使得

\[ \begin{array}{ll} \displaystyle \psi(1) &= \displaystyle \psi(0) + \frac{1}{1!} \psi'(0)\cdot(1 - 0)^1 + \frac{1}{2!} \psi''(0)\cdot(1 - 0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!} \psi^{(n)}(0)\cdot(1 - 0)^n + \frac{1}{(n + 1)!} \psi^{(n + 1)}(\theta) \cdot (1 - 0)^{n + 1} \\ &= \displaystyle \psi(0) + \frac{1}{1!} \psi'(0) + \frac{1}{2!} \psi''(0) + \cdots + \frac{1}{n!} \psi^{(n)}(0) + \frac{1}{(n + 1)!} \psi^{(n + 1)}(\theta) \end{array} \]

将上述 \(\psi(t)^{(m)}\) 全部代入一元函数的泰勒定理，即得

\[\begin{array}{rl} \displaystyle f(x_0 + h, y_0 + k) &= \displaystyle f(x_0, y_0) + \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)f(x_0, y_0) \\ &+ \displaystyle \frac{1}{2!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(x_0, y_0) + \cdots \\ &+ \displaystyle \frac{1}{n!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^n f(x_0, y_0) \\ &+ \displaystyle \frac{1}{(n + 1)!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^{n + 1} f(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \quad \blacksquare \end{array} \]

令 \(n = 0\)，即可得到二元函数的拉格朗日中值定理：

\[ f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) = h f'_x(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) + k f'_y(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \]

其中 \(\theta \in (0, 1)\)。可以用此定理证明一个二元函数在某个区域 \(G\) 内是否是仅关于 \(x\) 或 \(y\) 或常值的函数。

多元函数的极值与最值

多元函数的无条件极值

定义 设函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 的某邻域 \(U(P_0)\) 内有定义，如果对于 \(U(P_0)\) 内任意点 \((x, y)\)，都有 \(f(x, y) \leq f(x_0, y_0)\)，则称 \(f(x_0, y_0)\) 是函数 \(f(x, y)\) 在点 \(P_0\) 的一个极大值；如果对于 \(U(P_0)\) 内任意点 \((x, y)\)，都有 \(f(x, y) \geq f(x_0, y_0)\)，则称 \(f(x_0, y_0)\) 是函数 \(f(x, y)\) 在点 \(P_0\) 的一个极小值。极大值和极小值统称为极值。取极大值和极小值的点称为极值点。

定理 如果函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 存在偏导数，且在点 \(P_0\) 取得极值，那么 \(f'_x(x_0, y_0) = 0\)，\(f'_y(x_0, y_0) = 0\)。（极值的必要条件，满足条件 \(f'_x(x_0, y_0) = 0\)，\(f'_y(x_0, y_0) = 0\) 的点被称为 驻点）

证明. 证明极大值的情况，极小值类似：

根据定义，存在某邻域 \(U(P_0)\)，使得对于 \(U(P_0)\) 内任意点 \((x, y)\)，都有 \(f(x, y) \leq f(x_0, y_0)\)。由于偏导数 \(f'_x(x_0, y_0)\) 存在，假设偏导数的值为 \(A \neq 0\)，对于任意给定正数 \(\varepsilon\)，不妨令其为 \(|A|\)，都应当存在 \(\delta > 0\)，使得当 \(0 < |\Delta x| < \delta\) 时，有

\[ \begin{array}{cc} \displaystyle \left| \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} - A \right| \leq \varepsilon \\ \displaystyle A - |A| \leq \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} \leq A + |A| \\ \displaystyle \frac{A - |A|}{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)} \leq \frac{1}{\Delta x} \leq \frac{A + |A|}{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)} \end{array} \]

这是不可能满足的，因为这个不等式要求当 \(0 < |\Delta x| < \delta\) 时，\(\displaystyle \frac{1}{\Delta x}\) 非负（或者非正，取决于具体的 \(A\)）. 因此 \(A = 0\)，即 \(f'_x(x_0, y_0) = 0\)。同理可证 \(f'_y(x_0, y_0) = 0\)。\(\blacksquare\)

定理 设函数 \(z = f(x, y)\) 在点 \(P_0(x_0, y_0)\) 的某邻域 \(U(P_0)\) 内连续、且具有二阶连续偏导数，如果有 \(f_{x}(x_0, y_0) = 0\)，\(f_{y}(x_0, y_0) = 0\)，并且 \(A = f''_{xx}(x_0, y_0)\)，\(B = f''_{xy}(x_0, y_0)\)，\(C = f''_{yy}(x_0, y_0)\) 满足：（极值的充分条件）

  • \(\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix} > 0\)，则点 \(P_0\) 是函数 \(f(x, y)\) 的极值点，且是极大值点或极小值点，取决于 \(A\) 的正负性（或 \(C\) 的正负性，这两项在这个条件下必然同号）：
  • 若 \(A > 0\)，则 \(P_0\) 是极小值点；
  • 若 \(A < 0\)，则 \(P_0\) 是极大值点；
  • \(\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix} < 0\)，则点 \(P_0\) 不是函数 \(f(x, y)\) 的极值点；
  • \(\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix} = 0\)，不能断定点 \(P_0\) 是否是函数 \(f(x, y)\) 的极值点。

证明. 泰勒展开至 \(2\) 阶导数，对 \(U(P_0)\) 内任意的点 \(P(x_0 + h, y_0 + k)\)，存在 \(\theta \in (0, 1)\)，使得

\[\begin{array}{rl} \displaystyle f(x_0 + h, y_0 + k) &= \displaystyle f(x_0, y_0) + \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)f(x_0, y_0) \\ &+ \displaystyle \frac{1}{2!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \\ &= \displaystyle f(x_0, y_0) + \frac{1}{2!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \end{array} \]

当 \(h \to 0\)，\(k \to 0\) 时，有 \(x_0 + \theta h \to x_0\)，\(y_0 + \theta k \to y_0\)，由于 \(f(x, y)\) 在点 \(P_0\) 处连续，因此有 \(f(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \to f(x_0, y_0)\)。此时有

\[ \begin{array}{rl} f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) &\sim \displaystyle \frac{1}{2!} \left(h \frac{\partial}{\partial x} + k\frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(x_0, y_0) \\ &= \displaystyle \frac{1}{2!} (h^2 f''_{xx}(x_0, y_0) + 2hk f''_{xy}(x_0, y_0) + k^2 f''_{yy}(x_0, y_0)) \\ &= \displaystyle (A h^2 + 2Bhk + Ck^2) \\ &= \begin{bmatrix} h & k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} h \\ k \end{bmatrix} \end{array} \]

根据极限的保号性和二次型的正定性，可以得到结论：

(1) 当二次型矩阵 \(\begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix}\) 顺序主子式 \(\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\)、\(\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix}\) 均大于 \(0\)，即 \(A > 0\) 并且 \(AC - B^2 > 0\)，该二次型正定，从而 \(f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) > 0\)，\(P_0\) 是极小值点；

(2) 当二次型矩阵 \(\begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix}\) 顺序主子式 \(\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}\)、\(\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix}\) 与 \((-1)^k\) 同号，即 \(A < 0\) 并且 \(AC - B^2 > 0\)，该二次型负定，从而 \(f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) < 0\)，\(P_0\) 是极大值点；

(3) 当 \(\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix} < 0\) ，二次型矩阵 \(\begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix}\) 的特征值 \(\lambda_1 \lambda_2 = AC - B^2 < 0\)。由于实对称矩阵总是可以使用正交矩阵对角化，有 \(\begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix} \overset{T}{\sim} \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda 2 \end{bmatrix}\)，从而二次型不定，\(f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0)\) 的符号与 \(h\)，\(k\) 的取值有关，\(P_0\) 不是极值点；

(4) 当 \(\begin{vmatrix} A & B \\ B & C \end{vmatrix} = 0\)，由于实对称矩阵总是可以使用正交矩阵对角化，有 \(\begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix} \overset{T}{\sim} \begin{bmatrix} \text{tr} \left(\scriptscriptstyle \begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix} \right) & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)，二次型的正定性与二次型矩阵的迹有关，凭此可判断 \(P_0\) 是极小值点（二次型正定）还是极大值点（二次型负定）。\(\blacksquare\)

Note

这里的矩阵 \(\begin{bmatrix} A & B \\ B & C \end{bmatrix}\) 的名字叫做 Hessian 矩阵。结论可以推广至有限的 \(n\) 维形式。

多元函数的条件最值（拉格朗日乘数法）

当 \(f\) 和 \(G\) 都有连续偏导数时，求解 \(f(x, y, z)\) 在约束条件 \(G(x, y, z) = 0\) 下的极值点 \((x_0, y_0, z_0)\)，可以转化为求解方程组 \(\begin{cases}f'_x + \lambda G'_x = 0 \\ f'_y + \lambda G'_y = 0 \\ f'_z + \lambda G'_z = 0 \\ G = 0\end{cases}\) 的解。

这个方程组的解是函数 \(L(x, y, z, \lambda) = f(x, y, z) + \lambda G(x, y, z)\) 取得极值的必要条件。这个方法称为拉格朗日乘数法。

证明. 由于 \(G\) 具有连续偏导数，因此 \(G(x, y, z) = 0\) 唯一确定隐函数 \(z = z(x, y)\)，从而问题转化为求解 \(u = f(x, y, z(x, y))\) 的无条件极值。

\(u = f(x, y, z(x, y))\) 在点 \((x_0, y_0)\) 处取得极值的必要条件是 \(u'_x(x_0, y_0) = 0\)，\(u'_y(x_0, y_0) = 0\)。由链式法则以及隐函数求导法，有

\[ \begin{cases} \displaystyle u'_x = f'_x + f'_z z'_x = f'_x - \frac{G'_x}{G'_z} f'_z = 0 \\ \displaystyle u'_y = f'_y + f'_z z'_y = f'_y - \frac{G'_y}{G'_z} f'_z = 0 \end{cases} \]

从而 \(\begin{cases}\displaystyle \frac{f'_x}{G'_x} = \frac{f'_z}{G'_z} \\\displaystyle \frac{f'_y}{G'_y} = \frac{f'_z}{G'_z}\end{cases}\)，即 \(\displaystyle \frac{f'_x}{G'_x} = \frac{f'_y}{G'_y} = \frac{f'_z}{G'_z} = -\lambda\)。

这等价于 \(\begin{cases}f'_x + \lambda G'_x = 0 \\ f'_y + \lambda G'_y = 0 \\ f'_z + \lambda G'_z = 0\end{cases}\)。\(\blacksquare\)

Question

\(G'_z(x_0, y_0, z_0) \neq 0\) ？

使用拉格朗日乘数法可以求解在给定约束 \(G(x, y, z) = 0\) 下的所有可能极值点（由于是必要条件）。因此，只需要比较在这些点上函数 \(f(x, y, z)\) 的值，就可以得到函数 \(f(x, y, z)\) 在约束 \(G(x, y, z) = 0\) 下的最值。

偏导数在几何上的应用

  1. 苏德矿《微积分》下册 P.53 ↩