常微分方程

高等数学之常微分方程。包括一阶微分方程（可分离变量的方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、全微分方程）、可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程（常系数线性齐次和非齐次微分方程）、欧拉方程。主要探讨这些方程的求解法。

一阶微分方程¶

可分离变量的方程¶

如果微分方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = F(x, y)\) 可以化为 \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\) 的形式，那么这个微分方程是可分离变量的方程。

只需要两边积分就能够得到该微分方程的通解：

\[ \boxed{\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C} \]

齐次方程¶

形如 \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \varphi(\frac{y}{x})\) 的微分方程称为齐次微分方程，得名于函数 \(\displaystyle z(x, y) = \varphi(\frac{y}{x})\) 是 \(0\) 次齐次的。

作换元 \(\displaystyle u = \frac{y}{x}\)，则 \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{d(ux)}{dx} = x\frac{du}{dx} + u\frac{dx}{dx}\)，原微分方程可化为可分离变量的微分方程（关于未知函数 \(u(x)\) 的）：

\[ \begin{array}{c} \displaystyle x\frac{du}{dx} + u = \varphi(u) \\ \displaystyle \frac{1}{\varphi(u) - u} du = \frac{1}{x} dx \\ \end{array} \]

对于可能发生的 \(\varphi(u) - u = 0\) 的情况（取决于具体的函数 \(\varphi\)）：

如果存在某个特定值 \(u_0\) 使得 \(\varphi(u_0) - u_0 = 0\)，那么 \(y = u_0 x\) 也是原方程的一个解。

如果函数 \(\varphi(u) - u \equiv 0\)，那么 \(\displaystyle \varphi(\frac{y}{x}) = \frac{y}{x}\)，代入原方程，同样可以得到一个可分离变量的微分方程：

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} \]

线性方程¶

形如 \(\displaystyle y' + p(x) y = q(x)\) 的一阶微分方程被称为一阶线性微分方程，如同线性方程组中的定义，如果 \(q(x) = 0\)，那么这个方程被称为一阶线性齐次微分方程。

齐次的一阶线性微分方程是可分离变量的微分方程：

\[ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{dy}{dx} + p(x)y = 0 \\ \displaystyle \int \frac{1}{y}dy = \int -p(x) dx \\ \displaystyle \ln |y| = -\int p(x) dx + \ln |C| \\ \displaystyle \boxed{y = Ce^{-\int p(x) dx}} \end{array} \]

对于非齐次的一般一阶线性微分方程，有一奇技淫巧「常数变易法」可解之。

其大致思路为：猜测微分方程 \(\displaystyle y' + p(x) y = q(x)\) 的通解为其所对应的齐次方程 \(\displaystyle y' + p(x) y = 0\) 的通解 \(\displaystyle y = Ce^{-\int p(x) dx}\) 的形式，但其中的任意常数 \(C\) 为 \(x\) 的一函数 \(C = u(x)\)，代入原先的非齐次方程求解 \(u(x)\)，如果能够求解，并且最终 \(u(x)\) 中保留一个任意常数的自由度，那么这就是这个非齐次微分方程的通解。

下面演示求解微分方程 \(\displaystyle y' + p(x) y = q(x)\) 的通解的过程：

求对应齐次方程的通解 \(\displaystyle y = Ce^{-\int p(x) dx}\)，设 \(C = u(x)\)，求 \(y\)，\(y'\)

\[ \begin{array}{rl} y &= \displaystyle u(x)e^{-\int p(x) dx} \\ y' &= \displaystyle u'(x)e^{-\int p(x) dx} + u(x)e^{-\int p(x) dx} (-p(x)) \end{array} \]

代入原微分方程并化简

\[ \begin{array}{c} \displaystyle u'(x)e^{-\int p(x) dx} - p(x) u(x)e^{-\int p(x) dx} + p(x) u(x)e^{-\int p(x) dx} = q(x) \\ \displaystyle u'(x)e^{-\int p(x) dx} = q(x) \\ \displaystyle u'(x) = \frac{q(x)}{e^{-\int p(x) dx}} \end{array} \]

积分可得

\[ u(x) = \int q(x)e^{\int p(x) dx}dx + C \]

因此，原微分方程的通解为：

\[ \boxed{y = \left[\int q(x)e^{\int p(x) dx}dx + C \right] e^{-\int p(x) dx}} \]

这也表明，一阶非齐次线性微分方程的通解为其对应的齐次线性微分方程的通解加上它本身的一个特解。（与线性方程组中的相关结论是一致的）

伯努利方程¶

形如 \(\displaystyle y' + p(x) y = q(x) \cdot y^\alpha\) （\(\alpha \neq 0,1\)）的一阶微分方程被称为伯努利方程。

等式两边同时乘以 \(y^{-\alpha}\)，微分方程变为 \(\displaystyle \frac{1}{1 - \alpha}(y^{1 - \alpha})' + p(x) y^{1 - \alpha} = q(x)\)，这是一个关于函数 \(y^{1 - \alpha}\) 的一阶线性微分方程。

写成一阶线性微分方程的标准型为 \(\displaystyle (y^{1 - \alpha})' + (1 - \alpha)p(x) (y^{1 - \alpha}) = (1 - \alpha)q(x)\)，其通解为：

\[ \boxed{y^{1 - \alpha} = \left[(1 - \alpha)\int q(x)e^{(1 - \alpha)\int p(x) dx}dx + C \right] e^{-(1 - \alpha)\int p(x) dx}} \]

全微分方程¶

形如 \(P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0\) 的一阶微分方程，如果其等式左侧恰好等于某个二元函数 \(F(x, y)\) 的全微分，则称该一阶微分方程为全微分方程，其通解为 \(F(x, y) = C\)。

计算 \(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\) 的真值可以判定一个一阶微分方程是否为全微分方程。

在曲线积分的理论中，可以得到 \(P(x, y)dx + Q(x, y)dy\) 是某一函数的全微分与以下命题等价：

\(\begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{vmatrix} = 0\)；
\(\displaystyle \int_L P(x, y)dx + Q(x, y)dy\) 与路径无关；
\(\displaystyle \oint_C P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0\)，其中 \(C\) 是一个闭合曲线；

全微分方程的三种主要解法：偏积分、凑微分、线积分。

线积分方法：对于平面上任意一点 \((x_0, y_0)\)，都有 \(\displaystyle \int_{(x_0, y_0)}^{(x, y)} P dx + Q dy = 0\)，即：

\[ \int_{(0, 0)}^{(x, y)} P dx + Q dy = C \]

一般采用平行于坐标轴的积分路径计算左侧的曲线积分。

可降阶的高阶微分方程¶

\(y'' = f(x)\)¶

两边积分两次，即可得到方程的解。

\[ \begin{array}{c} \displaystyle y'' = f(x)\\ \displaystyle y' = \int f(x) dx + C_1 \\ \boxed{\displaystyle y = \int \left[ \int f(x) dx + C_1 \right] + C_2} \end{array} \]

\(y'' = f(x, y')\)¶

这种类型的微分方程并没有显示地包含未知函数 \(y\)，作换元 \(p = y'\)，原方程被降阶为一阶微分方程 \(p' = f(x, p)\)，如果该一阶微分方程的通解 \(p = \varphi(x, C_1)\) 可以被求出，那么原微分方程的通解为：

\[ \boxed{y = \int \varphi(x, C_1) dx + C_2} \]

\(y'' = f(y, y')\)¶

这种类型的微分方程并没有显示地包含未知函数的自变量 \(x\)，作换元 \(\displaystyle p = \frac{dy}{dx}\)，然后暂时将 \(y\) 看作是未知函数 \(p\) 的自变量，则 \(\displaystyle \frac{d}{dx}\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} p = \frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}\)，原方程变为关于未知函数 \(p\) 、未知数 \(y\) 的一阶微分方程 \(pp' = f(y, p)\)，如果该一阶微分方程的通解 \(p = \varphi(y, C_1)\) 可以被求出，那么原微分方程的通解为：

\[ \begin{array}{c} \displaystyle \varphi(y, C_1) = \frac{dy}{dx} \\ \displaystyle dx = \frac{1}{\varphi(y, C_1)}dy \\ \displaystyle \boxed{\int \frac{1}{\varphi(y, C_1)}dy = x + C_2} \end{array} \]

二阶线性齐次微分方程 \(y'' + p(x) y' + q(x) y = 0\)¶

在已知一个特解 \(y_1\) 的情况下，设第二个特解为 \(y_2 = u(x) \cdot y_1\)，代入原微分方程求解待定函数 \(u(x)\)，从而求得与第一个特解线性无关的第二个特解。

刘维尔公式/施图姆-刘维尔理论。

二阶线性非齐次微分方程 \(y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)\)¶

通过常数变易法，设通解 \(\displaystyle \tilde{y} = C_1(x)y_1 + C_2(x)y_2\)（其中 \(y_1, y_2\) 为对应齐次方程的两线性无关特解），然后代入原方程。

由于需要两个方程才能求解两个待定函数 \(C_1(x), C_2(x)\)，方便起见，令第二个方程为 \(y_1C_1'(x) + y_2C_2'(x) = 0\)。

高阶线性微分方程¶

线性微分方程解的结构¶

微分算子 \(L\)¶

将二阶线性微分方程 \(y'' + p(x) y' + q(x) y = 0\) 的左侧记为 \(L[y]\)：

\[ L[y] := \frac{d^2}{dx^2} y + p(x) \frac{d}{dx} y + q(x) y \]

式中 \(\displaystyle L = \frac{d^2}{dx^2} + p(x) \frac{d}{dx} + q(x)\) 为微分算子，它是线性算子，因为：

\(1\) 次齐次性

\[ \begin{array}{rl} L[Cy] &= \displaystyle \frac{d^2(Cy)}{dx^2} + p(x) \frac{d(Cy)}{dx} + q(x) (Cy) \\ &= \displaystyle C\left[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x) \frac{dy}{dx} + q(x) \right] \\ &= \displaystyle CL[y] \end{array} \]

可加性

\[ \begin{array}{rl} L[y_1 + y_2] &= \displaystyle \frac{d^2(y_1 + y_2)}{dx^2} + p(x) \frac{d(y_1 + y_2)}{dx} + q(x) (y_1 + y_2) \\ &= \displaystyle \frac{d^2}{dx^2} y_1 + \frac{d^2}{dx^2} y_2 + p(x) \frac{d}{dx} y_1 + p(x) \frac{d}{dx} y_2 + q(x) y_1 + q(x) y_2 \\ &= \displaystyle L[y_1 + y_2] \end{array} \]

齐次线性方程 \(y'' + p(x) y' + q(x) y = 0\)¶

定理对二阶线性齐次微分方程 \(y'' + p(x) y' + q(x) y = 0\)，如果 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程的两个解，则 \(C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 也是该方程的解，这里 \(C_1\) 和 \(C_2\) 是任意常数。

证明. 由于 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程 \(L[y] = 0\) 的两个解，因此

\[ \begin{array}{ccc} L[y_1] = 0 && L[y_2] = 0 \end{array} \]

由于 \(L\) 是线性算子，所以

\[ L[C_1 y_1 + C_2 y_2] = 0 \]

即， \(C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 也是方程 \(L[y] = 0\) 的解。\(\blacksquare\)

定理对二阶线性齐次微分方程 \(y'' + p(x) y' + q(x) y = 0\)，如果能够找到线性无关的两个特解 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\)，那么 \(y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 就是该方程的通解。

证明. 由上面的定理可知 \(y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 是方程 \(L[y] = 0\) 的解，由于 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 线性无关，这意味着不存在不全为零的 \(k_1, k_2\) 使得 \(k_1 y_1(x) + k_2 y_2(x) \equiv 0\) ，从而项 \(C_1y_1(x)\) 与项 \(C_2y_2(x)\) 无法合并，从而常数 \(C_1, C_2\) 相互独立。

因此，\(C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 是方程 \(L[y] = 0\) 的通解。\(\blacksquare\)

非齐次线性方程 \(y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)\)¶

定理对二阶线性非齐次微分方程 \(y'' + p(x) y' + q(x) y = f(x)\)，如果 \(\tilde{y}(x)\) 是它的一个特解，并且 \(Y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)\) 是其对应的齐次方程的通解，那么该二阶线性非齐次微分方程的通解为

\[ y(x) = Y(x) + \tilde{y}(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x) + \tilde{y}(x) \]

证明. 由于 \(y_1(x)\) 和 \(y_2(x)\) 是方程 \(L[y] = 0\) 的两个解，\(\tilde{y}(x)\) 是方程 \(L[y] = f(x)\) 的一个解，因此

\[ \begin{array}{ccccc} L[y_1] = 0 && L[y_2] = 0 && L[\tilde{y}(x)] = f(x) \end{array} \]

由于 \(L\) 是线性算子，所以

\[ L[C_1 y_1 + C_2 y_2 + \tilde{y}(x)] = f(x) \]

即，\(C_1 y_1 + C_2 y_2 + \tilde{y}(x)\) 是方程 \(L[y] = f(x)\) 的解。又因为 \(C_1, C_2\) 是两个相互独立的常数，因此 \(C_1 y_1 + C_2 y_2 + \tilde{y}(x)\) 是方程 \(L[y] = f(x)\) 的通解。\(\blacksquare\)

定理如果 \(y^*_1(x)\)， \(y^*_2(x)\) 分别是方程

\[ \begin{array}{c} y'' + p(x) y' + q(x) y = f_1(x) \\ y'' + p(x) y' + q(x) y = f_2(x) \end{array} \]

的特解，那么 \(y(x) = y^*_1(x) + y^*_2(x)\) 是方程

\[ y'' + p(x) y' + q(x) y = f_1(x) + f_2(x) \]

的一个特解。

证明.

\[ \begin{array}{ccc} L[y^*_1(x)] = f_1(x) && L[y^*_2(x)] = f_2(x) \end{array} \]

由于 \(L\) 是线性算子，所以

\[ L[y^*_1(x) + y^*_2(x)] = f_1(x) + f_2(x) \]

因此，\(y(x) = y^*_1(x) + y^*_2(x)\) 是方程 \(L[y] = f_1(x) + f_2(x)\) 的解。\(\blacksquare\)

常系数线性齐次微分方程 \(y'' + py' + qy = 0\)¶

瞪眼法，寻找满足 \(\displaystyle \frac{d^2y}{dy^2}\)、\(\displaystyle \frac{dy}{dy}\)、\(y\) 三者之间只相差常数倍的函数 \(y\)。含有待定系数 \(r\) 的指数函数 \(\displaystyle y = e^{rx}\) 是符合要求的一个初等函数。将 \(\displaystyle y = e^{rx}\) 代入原方程，可得

\[ r^2 e^{rx} + p r e^{rx} + q e^{rx} = 0 \]

由于 \(e^{rx} \neq 0\)，因此

\[ r^2 + p r + q = 0 \]

将该二次方程的根 \(r\) 代入 \(\displaystyle y = e^{rx}\) 即可得到原方程的特解。这个方程被称为「特征方程」。

对于特征方程，它的解有三种可能情况：

(1) 方程 \(r^2 + p r + q = 0\) 有两个不等实根\(r_1, r_2\)

在这种情况下，\(\displaystyle y_1 = e^{r_1x}\) 和 \(\displaystyle y_2 = e^{r_2x}\) 是微分方程 \(y'' + py' + qy = 0\) 的两个特解。

并且，由于 \(\displaystyle \frac{e^{r_1x}}{e^{r_2x}} = e^{(r_1 - r_2) x}\) 不是常函数，因此 \(y_1\) 与 \(y_2\) 线性无关，根据线性微分方程解的结构相关定理，微分方程 \(y'' + py' + qy = 0\) 的通解为：

\[ \boxed{y = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x}} \]

(2) 方程 \(r^2 + p r + q = 0\) 有两个相等实根 \(r_1 = r_2 = r\)

\(\displaystyle y_1 = e^{rx}\) 是微分方程 \(y'' + py' + qy = 0\) 的一个特解。需要找到该微分方程的另一个特解 \(y_2\)，由于 \(\displaystyle \frac{y_1}{y_2}\) 不是常数，可以令 \(y_2 = y_1 \cdot u(x)\)，其中 \(u(x)\) 是待定的函数，有

\[ \begin{array}{l} \displaystyle y_2 = e^{rx} u(x) \\ \displaystyle y_2' = \frac{d}{dx}(e^{rx} u(x)) = \left( \frac{du}{dx} + ru \right) e^{rx} \\ \displaystyle y_2'' = \frac{d}{dx} \left[\left( \frac{du}{dx} + ru \right) e^{rx}\right] = \left( \frac{d^2u}{dx^2} + 2r\frac{du}{dx} + r^2u \right) e^{rx} \end{array} \]

代入原微分方程，可以得到关于 \(u(x)\) 的微分方程

\[ \left[ \frac{d^2u}{dx^2} + (2r + p) \frac{du}{dx} + (r^2 + pr + q) u \right] e^{rx} = 0 \]

由于方程 \(r^2 + p r + q = 0\) 有两个相等实根 \(r_1 = r_2 = r\)，因此

\[ \begin{array}{ccc} \displaystyle r^2 + p r + q = 0 && \displaystyle r = -\frac{p}{2} \end{array} \]

代入微分方程，有

\[ \frac{d^2u}{dx^2} = 0 \]

因此，对于任意满足 \(\displaystyle \frac{d^2u}{dx^2} = 0\) 的 \(u(x)\)，\(y_2 = y_1 \cdot u(x)\) 都是微分方程的另一特解，选取 \(u(x) = x\)，原方程的通解为：

\[ \boxed{y = C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx} = (C_1 + C_2 x) e^{rx}} \]

(3) 方程 \(r^2 + p r + q = 0\) 有两个共轭复根 \(r = a \pm bi\)

在这种情况下，\(\displaystyle y_1 = e^{(a + bi)x}\) 和 \(\displaystyle y_2 = e^{(a - bi)x}\) 是微分方程 \(y'' + py' + qy = 0\) 的两个特解。即使此时已经可以求出原方程的通解，不过复数形式使用不便。通过下面的线性变换以及欧拉公式可以得到原微分方程的另外两个实数形式的特解：

\[ \begin{array}{c} \displaystyle \frac{1}{2}(y_1 + y_2) = \frac{1}{2}\left[ e^{(a + bi)x} + e^{(a - bi)x} \right] = e^{ax} \cos(bx) \\ \displaystyle \frac{1}{2i}(y_1 - y_2) = \frac{1}{2i}\left[ e^{(a + bi)x} - e^{(a - bi)x} \right] = e^{ax} \sin(bx) \end{array} \]

所以，原方程的通解为：

\[ \boxed{y = C_1 e^{ax} \cos(bx) + C_2 e^{ax} \sin(bx) = \left[C_1 \cos(bx) + C_2 \sin(bx) \right] e^{ax}} \]

常系数线性非齐次微分方程 \(y'' + py' + qy = f(x)\)¶

找非齐次方程的一个特解 \(\tilde{y}\)，然后应用在线性微分方程解的结构中的结论求出其通解。特解 \(\tilde{y}\) 的具体求法取决于 \(f(x)\) 的形式。

\(y'' + py' + qy = P_m(x)e^{\lambda x}\)¶

（\(P_m(x)\)：关于 \(x\) 且不含 \(y\) 的 \(m\) 次多项式）

瞪眼法，注意到「多项式与指数函数之乘积」求导后仍然是「多项式与指数函数之乘积」的形式，设特解 \(\tilde{y} = u(x)e^{\lambda x}\)，其中 \(u(x)\) 是一个待定多项式，有

\[ \begin{array}{l} \displaystyle \tilde{y} = u(x)e^{\lambda x} \\ \displaystyle \tilde{y}' = \frac{du}{dx}e^{\lambda x} + \lambda u(x)e^{\lambda x} \\ \displaystyle \tilde{y}'' = \frac{d^2u}{dx^2}e^{\lambda x} + 2 \lambda \frac{du}{dx}e^{\lambda x} + \lambda^2 u(x)e^{\lambda x} \end{array} \]

代入原微分方程，可以得到一个关于未知函数 \(u(x)\) 的微分方程

\[ \begin{array}{c} \displaystyle e^{\lambda x}\left[ \frac{d^2u}{dx^2} + 2 \lambda \frac{du}{dx} + \lambda^2 u(x) \right] + p e^{\lambda x} \left[ \frac{du}{dx} + \lambda u(x) \right] + q u(x) e^{\lambda x} = P_m(x)e^{\lambda x} \\ \displaystyle \frac{d^2u}{dx^2} + (2\lambda + p) \frac{du}{dx} + (\lambda^2 + p\lambda + q)u = P_m(x) \end{array} \]

我们总可以找到多项式 \(u(x)\) 满足上面的微分方程，需要讨论的是多项式 \(u(x)\) 的最高次数：如果上面的微分方程中，\(u(x)\) 项前的系数非零，则多项式 \(u(x)\) 的最高次数应该与多项式 \(P_m(x)\) 一致，为 \(m\) 次；如果 \(u(x)\) 项前的系数为零，而 \(\displaystyle \frac{du}{dx}\) 项前的系数非零，则多项式 \(u(x)\) 的最高次数应该比多项式 \(P_m(x)\) 多一次，为 \(m + 1\) 次；如果 \(u(x)\) 项前的系数为零，并且 \(\displaystyle \frac{du}{dx}\) 项前的系数也为零，则多项式 \(u(x)\) 的最高次数应该比多项式 \(P_m(x)\) 多两次，为 \(m + 2\) 次。

可以发现十分巧合的是，这些项前面的系数是否为零，与 \(\lambda\) 是否为特征方程 \(r^2 + p r + q = 0\) 的根，以及如果是，是否为二重根有关：

(1) 如果 \(\lambda\) 不是特征方程 \(r^2 + p r + q = 0\) 的根

这种情况下总是能够找到 \(m\) 次多项式 \(u(x)\) 满足上面的微分方程，通过比较系数法可以求得需要的多项式 \(u(x) = Q_m(x)\)，从而原微分方程的一个特解为

\[ \boxed{\tilde{y} = Q_m(x) e^{\lambda x}} \]

(2) 如果 \(\lambda\) 是特征方程 \(r^2 + p r + q = 0\) 的单根

这种情况下总是能够找到 \(m + 1\) 次多项式 \(u(x)\) 满足上面的微分方程，通过比较系数法可以求得需要的多项式 \(u(x) = xQ_m(x)\)，从而原微分方程的一个特解为

\[ \boxed{\tilde{y} = x Q_m(x) e^{\lambda x}} \]

(3) 如果 \(\lambda\) 是特征方程 \(r^2 + p r + q = 0\) 的二重根

这种情况下总是能够找到 \(m + 2\) 次多项式 \(u(x)\) 满足上面的微分方程，通过比较系数法可以求得需要的多项式 \(u(x) = x^2Q_m(x)\)，从而原微分方程的一个特解为

\[ \boxed{\tilde{y} = x^2 Q_m(x) e^{\lambda x}} \]

\(y'' + py' + qy = e^{\alpha x}[P_c(x) \cos \beta x + P_s(x) \sin \beta x]\)¶

（\(P_c(x)\)：关于 \(x\) 且不含 \(y\) 的 \(c\) 次多项式；\(P_s(x)\) 按类似方法展开）

通过欧拉公式展开等式右侧的 \(\cos \beta x\) 与 \(\sin \beta x\)，可以得到

\[ \begin{array}{rl} & \displaystyle e^{\alpha x}[P_c(x) \cos \beta x + P_s(x) \sin \beta x] \\ =& \displaystyle \left[ \frac{P_c(x)}{2} - \frac{P_s(x)}{2} i \right] e^{(\alpha + \beta i)x} + \left[ \frac{P_c(x)}{2} + \frac{P_s(x)}{2} i \right] e^{(\alpha - \beta i)x} \\ :=& \displaystyle S(x)e^{(\alpha + \beta i)x} + \overline{S(x)}e^{(\alpha + \beta i)x} \end{array} \]

其中，\(S(x)\) 为一个带有复数系数的 \(m\) 次多项式，\(m = \max\{c, s\}\)。

通过分别求解微分方程 \(\displaystyle y'' + py' + qy = S(x)e^{(\alpha + \beta i)x}\) 和 \(\displaystyle y'' + py' + qy = \overline{S(x)}e^{(\alpha + \beta i)x}\) 的两个特解（参考等式右侧为实系数多项式乘以指数函数时的解法）

\[ \begin{array}{c} \displaystyle \tilde{y_1} = x^{k} Q_m(x) e^{(\alpha + \beta i)x} \\ \displaystyle \tilde{y_2} = x^{k} \overline{Q_m(x)} e^{(\alpha - \beta i)x} \end{array} \]

就可以得到方程原方程的一个特解

\[ \tilde{y} = x^{k} e^{\alpha x}[Q_m(x) e^{i \beta x} + \overline{Q_m(x)} e^{-i \beta x}] \]

其中，系数 \(k\) 根据 \(\alpha + \beta i\) 或者 \(\alpha - \beta i\) 是否是特征方程 \(r^2 + p r + q = 0\) 根决定，若不是，取 \(k = 0\)，若是（此时必然是单根），取 \(k = 1\)。

用欧拉公式展开复指数，化简可得实函数形式的特解

\[ \boxed{\tilde{y} = x^{k} e^{\alpha x}[R_{m,1}(x)\cos \beta x + R_{m,2}(x)\sin \beta x]} \]

常系数线性齐次微分方程 \(y''' + \alpha y'' + \beta y' + \gamma y = 0\) 以及更高阶的形式¶

参考对二阶常系数线性齐次微分方程的讨论，如果特征方程 \(r^3 + \alpha r^2 + \beta r + \gamma = 0\) 有某个实数根 \(r_0\)，根据其重数决定系数 \(k\) （单根取 \(k = 0\)，二重根分别取 \(k = 0,1\)，三重根分别取 \(k = 0,1,2\)），可以得到方程的特解：

\[ \tilde{y} = x^{k}e^{r_0x} \]

如果特征方程有某对共轭复根 \(a \pm bi\)，则可以得到原方程的两个特解：

\[ \begin{array}{c} \displaystyle \tilde{y}_1 = e^{ax} \cos(bx) \\ \displaystyle \tilde{y}_2 = e^{ax} \sin(bx) \end{array} \]

以上面的方法，可得到常系数线性齐次微分方程所需要的所有相互线性无关的特解。

常系数线性非齐次微分方程 \(y''' + \alpha y'' + \beta y' + \gamma y = P_m(x)e^{\lambda x}\) 以及更高阶的形式¶

其特解的求法与二阶形式一致。

欧拉方程¶

形如 \(a_n x^n y^{(n)} + ... + a_1 x y' + a_0 y = f(x)\) 的微分方程被称为欧拉方程。

作换元令 \(x = e^t\)，可以将欧拉方程转化为关于未知函数 \(y\)，未知数 \(t\) 的常系数线性微分方程。

术语表¶

微分方程的阶¶

微分方程中出现的各阶导数中，最高的导数阶数。

关于未知函数 \(y = y(x)\) 的微分方程 \(F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0\) 的阶数是 \(n\) 阶。

微分方程的解¶

如果将某一个函数 \(y = y(x)\) 代入微分方程 \(F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0\)，能够得到一个恒等式，则称函数 \(y = y(x)\) 为该微分方程的解。

微分方程的通解¶

如果微分方程的解中包含的「独立的任意常数 \(C_i\)」的个数等同于微分方程的阶数，这种解就是微分方程的通解。（定义）

微分方程的通解未必是微分方程所有的解（在通解之外的情况被称为奇解），然而对于线性微分方程，其通解就是其所有的解。

对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族.但是，在这条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族。但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。在几何学上，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络。在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。

了解更多：常微分方程的通解包含所有的解吗？ - 马同学的回答 - 知乎

之所以定义中是等同于微分方程的阶数的 \(n\) 个「独立的任意常数 \(C_i\)」：

设 \(D_X = \{f(x) : f(x) \ is\ differentiable\ in\ X\}\)（可知 \(D_X\) 是函数空间的线性子空间），则求导运算 \(\displaystyle \frac{d}{dx}:D_x \rightarrow \mathbb{R}\) 是线性算子。
不同阶求导的线性算子的线性组合 \(\mathcal{L}\)（\(F = \mathbb{R}[x]\)）是线性函数。
将线性函数 \(\mathcal{L}\) 看作映射 \(\mathcal{L}[y]\)，求解 \(\mathcal{L} = f(x)\) 就是求 \(f\) 在映射 \(\mathcal{L}[y]\) 下的原像，作为线性方程，其解空间的维数等同于 \(\mathcal{L}\) 中包含的线性无关项的个数。

我认为通解的概念可能是从解线性微分方程得到的结论延伸出去的，因而是如此定义的。

了解更多：隐函数定理、函数的相关性

微分方程的特解¶

固定微分方程通解中的所有常数 \(C_i\) 得到的微分方程的一个解称为微分方程的特解。

积分曲线¶

微分方程语境下，微分方程的一个解。

齐次函数¶

如果 \(f(\lambda x_1, \lambda x_2, \dots, \lambda x_n) = \lambda^k f(x_1, x_2, \dots, x_n)\)（其中 \(\lambda \neq 0\)），则称函数 \(f(x_1, x_2, \dots, x_n)\) 为 \(k\) 次齐次函数。

一阶微分方程中的齐次方程，就是得名于 \(\displaystyle z = \varphi(\frac{y}{x})\) 是 \(0\) 次齐次函数。

线性函数¶

一个函数是线性函数，当且仅当它满足「\(1\) 次齐次性」和「可加性」。

「\(1\) 次齐次性」：

\(f(\lambda x_1, \lambda x_·2, \dots, \lambda x_n) = \lambda f(x_1, x_2, \dots, x_n)\)（其中 \(\lambda \neq 0\)）

「可加性」：

\(f(x_1 + y_1, x_2 + y_2, \dots, x_n + y_n) = f(x_1, x_2, \dots, x_n) + f(y_1, y_2, \dots, y_n)\)

线性微分方程¶

微分方程 \(F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0\) 其等式左侧对 \(\{y, y', \dots, y^{(n)}\}\) 而言是线性的。

或者说：\(\{y, y', \dots, y^{(n)}\} \cup \{1\}\) 的线性组合（\(F = \mathbb{R}[x]\)）。

线性相关与线性无关¶

线性组合：对于向量空间 \(V\)（附于体 \(F\)）的子集合 \(S\)，如果存在有限多个向量 \(v_1, \dots, v_n\) 属于 \(S\) 以及对应的标量 \(a_1, \dots, a_n\) 属于 \(F\)，如果对向量 \(v\)，有 \(\displaystyle v = \sum_{i = 1}^n a_i v_i\)，则称 \(v\) 是 \(S\) 的线性组合。

线性相关：一组向量中的其中一个向量可以用其余有限个向量的线性组合表示。

称函数 \(f(x)\) 与函数 \(g(x)\) （在某个区间上）线性相关，是指存在不全为 \(0\) 的两个常数 \(k_1, k_2\) 使得在这个区间上，有 \(k_1 f(x) + k_2 g(x) \equiv 0\)。

如果 \(k_1 f(x) + k_2 g(x) \equiv 0\) 当且仅当 \(k_1 = k_2 = 0\) 时才成立，那么称函数 \(f(x)\) 与函数 \(g(x)\) （在某个区间上）线性无关。