本文所指的中值定理都是对一元函数而言的。
微分中值定理
微分中值定理建立函数与一阶导数间的联系，对于含有拉格朗日余项的泰勒展开（泰勒中值定理），则是建立函数与高阶导数间的联系。
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理都需要闭区间连续、开区间可导的条件，找到的 $\xi$ 是在开区间内的。
罗尔定理 如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 可导，并且 $f(a) = f(b)$，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。
推论 如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ （有限、无限、开、闭）内，满足 $f^{(n)}(x) \neq 0$，则函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 至多有 $n$ 个零点。
拉格朗日中值定理 如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 可导，那么至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\displaystyle f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。
柯西中值定理 如果函数 $f(x)$ 与函数 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，在开区间 $(a,b)$ 可导，并且在整个开区间 $(a,b)$ 内，函数 $g(x) \neq 0$，那么至少存在一点 $\xi \in (a,b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$。
含有拉格朗日余项的泰勒展开（泰勒中值定理） 如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ $(n+1)$ 阶可导，对于任意的 $x_0 \in (a,b)$，至少存在一个 $\xi \in (a,b)$ 使得下面的等式成立。
$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x - x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)
$$
$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}
$$
其中 $R_n(x)$ 被称为拉格朗日余项。
对微分中值定理的更为详细的介绍、一般使用情形以及它们的推导可见 一元函数的导数 中 微分中值定理 一节。
本文将侧重于介绍微分中值定理用于证明时的常见应用。
使用微分中值定理证明不等式
[TODO]
使用微分中值定理证明方程根的个数
在 一元函数的导数 中的 微分中值定理 一节中有粗略地介绍过如何利用微分中值定理证明方程根的个数。
简而言之，通常我们使用连续函数的零点定理、罗尔定理及其推论以及含有拉格朗日余项的泰勒展开（如果涉及高阶导数）。有时也许对边界的正负判定会用到极限、极限的保号性。对于含参问题，往往先对方程进行变量分离，然后使用几何的方法，或是最后再进行分类讨论更加简单。
使用微分中值定理证明满足条件的点的存在性
证明 $\exists \xi \in (a,b)$ s.t. $F(\xi, f(\xi), f'(\xi)) = 0$
通常需要寻找到辅助函数 $g(x)$，使得 $g'(x) = \bigcirc \cdot F(\xi, f(\xi), f'(\xi))$，并且 $g(a) = g(b)$，其中因子 $\bigcirc$ 需要对 $\forall \xi \in (a,b)$ 满足 $\bigcirc \neq 0$ ，这样，对 $g(x)$ 使用罗尔定理，即可得到 $F(\xi, f(\xi), f'(\xi)) = 0$，使得原命题得证。
对于以下形式的 $F(\xi, f(\xi), f'(\xi))$，我们应当有一定的数学直觉（如果学过常微分方程的话）注意到与之对应的 $g(x)$：
$$\begin{array}{rll}
\displaystyle xf'(x) + \lambda f(x) = \bigcirc \cdot g'(x) &
\displaystyle g(x) = x^\lambda f(x) & \bigcirc = x^{\lambda-1} \\
\displaystyle f'(x) + \lambda f(x) = \bigcirc \cdot g'(x) &
\displaystyle g(x) = e^{\lambda x}f(x) & \bigcirc = e^{\lambda x} \\
\displaystyle \alpha f'(x) + \beta f(x) = \bigcirc \cdot g'(x) &
\displaystyle g(x) = e^{\frac{\beta}{\alpha} x}f(x) & \bigcirc = e^{\frac{\beta}{\alpha} x},\ \alpha \neq 0 \\
\displaystyle f'(x) + h(x) f(x) = \bigcirc \cdot g'(x) &
\displaystyle g(x) = e^{\int h(x) dx}f(x) & \bigcirc = e^{\int h(x) dx} \\
\displaystyle h_1(x)f'(x) + h_2(x) f(x) = \bigcirc \cdot g'(x) &
\displaystyle g(x) = e^{\int \frac{h_2(x)}{h_1(x)} dx}f(x) & \bigcirc = e^{\int \frac{h_2(x)}{h_1(x)} dx},\ h_1(x) \neq 0 \\
\end{array}
$$
对于上面的结论，应该注意灵活地运用换元法，替换其中的 $(f'(x),f(x))$ 对，将欲证命题转化为熟知的形式。
例 已知奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 具有二阶导数，且 $f(1) = 1$，求证存在 $\xi \in (-1,1)$ 使得 $f''(\xi) + f'(\xi) = 1$。
证明. 令 $f_1(x) = f'(x)$，则原命题转化为：…使得 $f_1'(\xi) + [f_1(\xi) - 1] = 0$。
由于 $[f_1(x) - C]' = f_1'(x)$，令 $f_2(x) = f_1(x) - 1$，则原命题转化为：…使得 $f_2'(\xi) + f_2(\xi) = 0$。
这时，直接利用上面的结论令 $g(x) = e^{x}f_2(x)$ 并使用罗尔定理即可。
由于函数 $f(x)$ 是奇函数，可知 $f(0) = 0$，根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1 \in (0, 1)$，使得 $\displaystyle f'(\xi_1) = \frac{f(1) - f(0)}{1 - 0}$ 即 $f'(\xi_1) = 1$。
由于函数 $f(x)$ 是奇函数，可知 $f'(x)$ 为偶函数，那么必然存在 $\xi_2 = -\xi_1$，使得 $\displaystyle f'(\xi_2) = \displaystyle f'(\xi_1)$。那么就能够找到对应的区间对 $g(x) = e^{x}f_2(x) = e^{x}[f'(x) - 1]$ 使用罗尔定理，使得原命题得证。$\blacksquare$
此外，对于任意的 $F(\xi, f(\xi), f'(\xi))$，我们都可以通过求解微分方程得到我们需要的 $g(x)$（这样，就可以假装注意到别人注意不到的辅助函数了）：
- 求一阶微分方程 $F(x, y, y') = 0$ 的通解 $H(x, y) = C$。
- $g(x) = H(x, f(x))$。
对于这个方法的原理，我们需要知道一个重要的事实：已知微分方程的通解，如何得到原始的微分方程？
方法是求导。微分方程的解就是满足微分方程的函数，而这个函数的导数就是微分方程中的 $y'$。所以，如果我们已经知道了解，那么就可以通过求解的导数来得到微分方程。
假设有一个一阶微分方程 $y' = f(x)$，并且我们已知它的通解是 $y = F(x, C)$，其中 $C$ 是一个常数。那么通过对 $y = F(x, C)$ 求导得 $y' = F'(x, C)$，将其与原始的微分方程的形式进行对照，可得 $f(x) = F'(x, C)$，并且 $y' = F'(x, C)$ 就是原始的微分方程。
回到上面的问题中，我们对通解隐函数式 $H(x, y) - C = 0$ 求对 $x$ 的导数，由于常数 $C$ 不影响导函数的值，因此 $H'_x(x, f(x))$ 就是原始的微分方程写为 $y' = \hat{f}(x)$ 形式时的 $\hat{f}(x)$。如果能够对 $H'_x(x, f(x))$ 使用罗尔定理，必然能够分离出（与将 $F(x, y, y') = 0$ 转化为 $y' = \hat{f}(x)$ 的过程相反，可能会引入额外因子）$F(x, y, y') = 0$ 的解，使原问题得证。
证明 $\exists \xi ,\ \eta \in (a,b)$ s.t. $F(\xi, \eta, f(\xi), f(\eta), f'(\xi), f'(\eta)) = 0$
由于中值定理不保证取到的中值点 $\xi$ 和 $\eta$ 的具体取值，因此需要对是否要求 $\xi \neq \eta$ 进行分类。
如果不要求 $\xi \neq \eta$，可以通过在原区间 $[a, b]$ 上使用两次拉格朗日中值定理或柯西中值定理，分别构造出中值点 $\xi$ 和 $\eta$ 求证。
在理想的情况下，如果能够分离 $\xi$ 和 $\eta$ 分居等号两侧，在成功使用两次中值定理后，我们就可以根据其他条件联络起这两个由中值定理得到的等式的关系。
在这种情况下，在分离 $\xi$ 和 $\eta$ 之后，我们需要考虑如何利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理。这是与中值点在式中出现的形式有关的。
以 $\xi$ 代表中值点，例如：如果 $\xi$ 在式中出现的形式为 $\displaystyle \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$（其中 $g$ 可以是一个自己定义的固定的函数），则往往可以选择使用柯西中值定理；如果 $\xi$ 在式中出现的形式仅为单独的 $f'(\xi)$，而无单独出现的其他与 $\xi$ 有关的项，则往往可以选用拉格朗日中值定理；如果 $\xi$ 在式中出现的形式为上面讨论过的（例如） $h_1(\xi)f'(\xi) + h_2(\xi) f(\xi)$，则可以尝试使用拉格朗日中值定理。根据求导运算的规律，构造合适的辅助函数运用拉格朗日中值定理是绝大多数情况下的解法。
如果要求 $\xi \neq \eta$，往往是将原区间 $[a, b]$ 分割为两个子区间，在子区间上各用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。
子区间分界点可以使用待定系数，在 $[a, c]$ 使用第一次中值定理，在 $[c, b]$ 使用第二次中值定理。
使用中值定理后，$c$ 将出现在 $f$ 的自变量和独立项中，通过几何意义和猜测法一般可以猜出 $c$ 的具体取值。因为在这种情况下，我们需要猜测 $f(c)$ 与 $c$ 的其它可能的函数关系，即 $f(c) = g(c)$。对于一个猜测的 $g$，求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的交点就能够得到 $c$ 的具体取值，我们只要保证这个 $g$ 与所有满足条件的 $f$ 都是存在交点 $(c, f(c))$ 的。可以考虑用连续函数的介值定理、零点定理等定理证明上述 $c$ 的存在性。
证明 $\exists \xi \in (a,b)$ s.t. $F(\xi, f^{(n)}(\xi)) \geq 0$
使用含拉格朗日余项的泰勒展开。选取函数值、导数值已知信息更多的点 $x_0$ 作为展开点。
变体：
$$\max_{x \in (a,b)} f(x) \geq M \Leftrightarrow \exists \xi \in (a,b)\ s.t.\ f(\xi) \geq M
$$
$$\max_{x \in [a,b]} f(x) \geq M \Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{ll}
& f(a) \geq M \\
or & \exists \xi \in (a,b)\ s.t.\ f(\xi) \geq M \\
or & f(b) \geq M
\end{array} \right.
$$
积分中值定理
对积分中值定理的更为详细的介绍以及推导可见 一元函数的定积分 中 微积分基本定理 一节。
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