一元函数的极限与数列极限

本文详细讨论了一元函数的极限及其应用。主要内容包括：

• 极限运算的四则运算法则及推论：介绍了极限的加、减、乘、除四则运算法则，以及相关的推论，为极限计算提供了基础。

• 常用极限：列举了一些常见的极限公式和计算方法，如指数函数的极限、多项式之比的极限等。

• 常用的等价无穷小：总结了常见的等价无穷小形式，帮助在极限计算中进行无穷小量的替换和比较。

• 等价无穷小的代换法则：解释了在极限计算中如何正确地使用等价无穷小进行代换的法则和注意事项。

• 洛必达法则：详细阐述了洛必达法则的应用条件和使用技巧，帮助解决未定式极限问题。

• 常用的麦克劳林展开式：提供了一些函数的麦克劳林展开式，为等价无穷小替换提供依据。

• 其他求极限的常用方法：介绍了夹逼定理、定积分定义和单调有界定理等方法在极限计算中的应用。

• 极限的保号性：讨论了极限的保号性质及其在证明不等式中的作用。

• 一元函数极限的应用：举例说明了极限在研究平面曲线的渐近线等问题中的应用。

文章提到的部分知识点对一元数列的极限也是适用的。通过本文的学习，读者可以全面掌握一元函数极限的计算技巧和理论基础。

（摘要由 OpenAI o1-preview 生成）

极限运算的四则运算法则及其推论

若 \(\lim f(x) = A,\ \lim g(x) = B\)，则有：

• \(\lim [f(x) \pm g(x)] = A\pm B\)
• \(\lim [f(x) \cdot g(x)] = A\cdot B\)
• \(\displaystyle \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\)

推论：

• 若 \(\lim f(x) = A \neq 0\)，则 \(\lim [f(x) \cdot g(x)] = A\cdot \lim g(x)\)，即俗称的极限中非零因子的极限可以先求
• 若 \(\displaystyle \lim \frac{f(x)}{g(x)}\) 存在，并且 \(\lim g(x) = 0\)，则必有 \(\lim f(x) = 0\)
• 若 \(\displaystyle \lim \frac{f(x)}{g(x)} = A \neq 0\) ，并且 \(\lim f(x) = 0\)，则必有 \(\lim g(x) = 0\)

常用极限

• 指数函数极限根据底数分类讨论

• 多项式之比的极限抓大头

  • 将分子分母通分为仅含自然数次项的多项式，然后将分子与分母各项对齐，不存在的项用 \(0\) 补齐
  • \(x \rightarrow 0\) 时，极限值由从 \(0\) 次向 \(n\) 次数的第一个非 \(\displaystyle \frac{0}{0}\) 项的值决定
  • \(x \rightarrow \infty\) 时，极限值由从 \(n\) 次向 \(0\) 次数的第一个非 \(\displaystyle \frac{0}{0}\) 项的值决定

• \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} (1 + x)^{\textstyle \frac{1}{x}} = e\)

• \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x} = e\)

Note

对于极限 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty} (1 + x)^{\textstyle \frac{1}{x}}\)、\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} (1 + \frac{1}{x})^{x}\) ，需要注意：对于指数函数而言，指数取 \(-\infty\) 与 \(+\infty\) 的函数值不同，因而函数极限不存在（单侧极限存在）。

• \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} \frac{\alpha^x - 1}{x} = \ln \alpha\)

• \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}= 1\)

• \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{\alpha}= 1\)

\(\displaystyle \frac{0}{0}\) 与 \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) 型极限：洛必达或展开

\(0\cdot \infty\) 型极限：取倒数洛必达或展开

\(\infty - \infty\) 型极限：通分洛必达或展开

\(1^\infty\)、\(\infty^0\)、\(0^0\) 型：取对数化为\(0\cdot \infty\) 型极限洛必达或展开

对于 \(1^\infty\) 形式的极限：

\(\alpha(x) \rightarrow 0\)，\(\beta(x) \rightarrow \infty\) 时，若 \(\alpha(x) \beta(x) \rightarrow A\) ，则有 \(\lim \Big[1 + \alpha(x) \Big]^{\beta(x)} = e^A\)。

指数型极限的一个非常常用的技巧：在取对数时，预先将指数凑为 \(1 + o(1)\) 的型式，然后再取对数。

常用的等价无穷小

一般比较难记的都是现场展开。感觉不如展开...方便。

\[x \rightarrow 0,\ x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln (1 + x) \sim e^x - 1\]

• 当 \(x \rightarrow 0\) 时，有 \(\alpha^x - 1 \sim x \ln \alpha\)

• 当 \(x \rightarrow 0\) 时，有 \(\displaystyle x - \ln (1 + x) \sim \frac{1}{2} x^2\)

• 当 \(x \rightarrow 0\) 时，有 \(\displaystyle 1 - \cos x \sim \frac{1}{2} x^2\)

• 当 \(x \rightarrow 0\) 时，有 \(\displaystyle 1 - \cos^\alpha x \sim \frac{\alpha}{2} x^2\)

• 当 \(x \rightarrow 0\) 时，有 \(\displaystyle x - \sin x \sim \frac{1}{6} x^3\)

• 当 \(x \rightarrow 0\) 时，有 \(\displaystyle \arcsin x - x \sim \frac{1}{6} x^3\)

• 当 \(x \rightarrow 0\) 时，有 \(\displaystyle \tan x - x \sim \frac{1}{3} x^3\)

• 当 \(x \rightarrow 0\) 时，有 \(\displaystyle x - \arctan x \sim \frac{1}{3} x^3\)

• 当 \(x \rightarrow 0\) 时，有 \((1 + x)^{\alpha} - 1 \ \sim \ \alpha x\)

• 当 \(\alpha(x) \rightarrow 0\)，\(\alpha(x) \cdot \beta(x) \rightarrow 0\) 时，有 \(\Big[1 + \alpha(x)\Big]^{\beta(x)} - 1 \ \sim \ \alpha(x) \cdot \beta(x)\)

• 若 \(f(x),g(x)\) 在 \(U(0)\) 连续，如果有 \(f(x) \sim g(x)\)， 则有 \(\displaystyle \int_0^x f(t) dt \sim \int_0^x g(t) dt\)

• 若 \(f(x),g(x)\) 在 \(U(0)\) 连续，如果有 \(f(x) \sim g(x)\)，并且 \(\lim \varphi(x) = 0\)， 则有 \(\displaystyle \int_0^{\varphi(x)} f(t) dt \sim \int_0^{\varphi(x)} g(t) dt\)

等价无穷小的代换法则

• 对于极限式中的因子，如果这个因子的极限为常数，可以将其提取至 \(\lim\) 符号外侧

• 作为乘法或除法的因子时，可以无条件代换

• 作为加法或减法的一项时，分别满足以下条件即可代换：

  • 若 \(\alpha \sim \alpha_1\)，\(\beta \sim \beta_1\)，并且 \(\displaystyle \lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} = A \neq -1\)，则 \(\alpha + \beta \sim \alpha_1 + \beta_1\)
  • 若 \(\alpha \sim \alpha_1\)，\(\beta \sim \beta_1\)，并且 \(\displaystyle \lim \frac{\alpha_1}{\beta_1} = A \neq +1\)，则 \(\alpha - \beta \sim \alpha_1 - \beta_1\)
  • 或者在代换时，需要代入等式 \(\alpha = \alpha_1 + o(\alpha_1)\)
  • 有些看起来违反这个规则进行代换的情况是因为它们是先拆再等价无穷小代换的；而极限能够使用四则运算拆开的前提条件是拆出的两个极限式极限均存在

关于无穷小的阶数

• 若 \(x \rightarrow 0\) 时 \(f(x)\) 是无穷小量，并且 \(f'(x)\) 是 \(x\) 的 \(k\) 阶无穷小（\(k > 0\)），则 \(f(x)\) 是 \(x\) 的 \(k + 1\) 阶无穷小

  • 使用洛必达法则即可证明

• 若 \(f(x)\) 在 \(U(0)\) 连续，且当 \(x \rightarrow 0\) 时，\(f(x)\) 是 \(x\) 的 \(m\) 阶无穷小，\(\varphi(x)\) 是 \(x\) 的 \(n\) 阶无穷小：则当 \(x \rightarrow 0\) 时，\(F(x) = \displaystyle \int_{0}^{\varphi(x)} f(t) dt\) 是 \(x\) 的 \(n \cdot (m + 1)\) 阶无穷小

• 增长速度：反三角函数 < 对数函数 < 幂函数 < 指数函数

洛必达法则

若 \(f(x),\ g(x)\) 满足：

1. \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = 0\) or \(\infty\)；
2. 在 \(x_0\) 的某邻域内，\(f(x),\ g(x)\) 可导，并且 \(g'(x) \neq 0\)；
3. \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A\) or \(\infty\)

则有 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

若 \(f(x),\ g(x)\) 满足 \(n\) 阶可导，则至多可以使用 \((n - 1)\) 次洛必达法则。

若 \(f(x),\ g(x)\) 满足 \(n\) 阶连续可导，则至多可以使用 \(n\) 次洛必达法则，这是因为连续可推得函数在某点的极限等于函数在某点的函数值。

上面的结论是基于洛必达后极限需要存在的要求，以及函数连续时，可以直接利用 \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)\) 求极限的性质。然而上面的两个结论并非在所有情况下一定是最恰当的，它实际上缩小了洛必达的可用范围。

常用的麦克劳林展开式

等价无穷小的上位替代，大部分的极限题都可以通过暴力展开求解。

函数在 \(x = 0\) 点处泰勒展开三项：

三角函数：

\[ \displaystyle \sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 + \omicron(x^5) \]

\[ \displaystyle \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 + \omicron(x^4) \]

\[ \displaystyle \tan x = x + \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5 + \omicron(x^5) \]

\[ \displaystyle \arctan x = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 + \omicron(x^5) \]

以下两条不是十分常用，但是在一些特殊情况下可能会用到：

\[ \displaystyle \arcsin x = x + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \omicron(x^5) \]

\[ \displaystyle \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x = \dots \]

幂函数、指数函数、对数函数：

\[ \displaystyle \ln (1 + x) = x - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 + \omicron(x^3) \]

\[ \displaystyle e^x = 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \omicron(x^3) \]

\[ \displaystyle (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha (\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \omicron(x^3) \]

其他的求极限常用方法

夹逼准则（常用于数列极限）、利用定积分的定义（常用于数列极限，并且往往是 \([0,1]\) 区间）、单调有界定理（常用于由递推式定义的数列极限）

拉格朗日中值定理（常用于极限式中存在结构相似的两项，且不同处夹逼所得之极限存在） - 可以用此方法证明：当 \(\alpha(x) \rightarrow 0,\ \beta(x) \rightarrow 0\) 时，有 \(e^{\alpha(x)} - e^{\beta(x)} \sim \alpha(x) - \beta(x)\)

极限的保号性

定理 （极限的不等式性质）：若 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A\)，\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} g(x) = B\)，且 \(A > B\)，则存在 \(x_0\) 的某个去心邻域 \(U^o(x_0)\)，使得当 \(x \in U^o(x_0)\) 时，有 \(f(x) > g(x)\)。

推论 （极限的保号性）：若 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = A\)，且 \(A > 0\)，则对任意的 \(\eta \in (0, A)\)，都存在 \(x_0\) 的某个去心邻域 \(U^o(x_0)\)，使得当 \(x \in U^o(x_0)\) 时，有 \(f(x) > \eta\)。

当 \(A < 0\) 时，对任意的 \(\eta \in (A, 0)\)，都存在 \(x_0\) 的某个去心邻域 \(U^o(x_0)\)，使得当 \(x \in U^o(x_0)\) 时，有 \(f(x) < \eta\)。

这个定理用于判断或证明不等式很有用。

一元函数极限的应用

平面曲线的渐近线

若 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} = A\) 或者 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} = A\)，则称直线 \(y = A\) 是平面曲线 \(y = f(x)\) 的一条水平渐近线。

若 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0^-} = \infty\) 或者 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0^+} = \infty\)，则称直线 \(x = x_0\) 是平面曲线 \(y = f(x)\) 的一条垂直渐近线。

对于直线 \(y = ax + b\)，如果有 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} = a\)，并且 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) - ax = b\) （这两个极限可以同时或者 \(x \rightarrow -\infty\) 或 \(x \rightarrow +\infty\) 中的一种），则称直线 \(y = ax + b\) 是平面曲线 \(y = f(x)\) 的一条（斜）渐近线。

求斜渐近线的另一个方法：作换元 \(\displaystyle x = \frac{1}{t}\)，在 \(t = 0\) 将 \(y = f(x)\) 展开为 \(\displaystyle y = \frac{1}{t}\Big[a + bt + o(t)\Big]\)。