数项级数
数项级数的基本概念
设 $\{u_n\}$ 是给定的数列，那么数项级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)$ 的部分和 $S_n$ 定义为：
$$S_n = \sum_{k = 1}^{n} u_k = u_1 + u_2 + ... + u_n
$$
收敛 如果当 $n \to \infty$ 时，极限 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n = S$ 存在，那么称数项级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 收敛，级数的和为 $S$。
可以看到数项级数的收敛概念是源于对其部分和的极限的讨论，因此，对部分和数列 $\{S_n\}$ 应用数列极限的相关结论，可以得到以下性质：
- 改变或增减有限项不影响级数的敛散性；
- 如果级数收敛，那么在级数中任意添加括号后得到的级数仍然收敛，且其和不变；
- 如果 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 收敛，那么 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = 0$；
- 如果 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n = A$，$\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n = B$ 均收敛，那么 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} (\alpha u_n + \beta v_n) = \alpha A + \beta B$ 也收敛；
- 收敛 + 收敛 = 收敛；
- 收敛 + 发散 = 发散；
- 发散 + 发散 = 未定。
(*) 对部分和数列 $\{S_n\}$ 应用数列极限的柯西收敛准则，可以得到级数收敛的充分必要条件：
（柯西收敛准则）$\forall \varepsilon > 0$，$\exists N > 0$，当 $n > N$ 时，对一切 $p \in \mathbb{N}$ 都有 $|a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+p}| < \varepsilon$。
正项级数
正项级数的部分和数列是单调递增的，因此，根据单调有界原理，我们得出正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。
由此，可以引出若干判定正项级数收敛的充分但非必要条件：
比较判别法及其极限形式
定理 设 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n$ 是两个正项级数，且对从某一正整数 $k$ 开始的一切自然数 $n$ 都有 $u_n \leq v_n$，那么：
(1) 若 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 也收敛（大的收敛小的一定收敛）；
(2) 若 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n$ 也发散（小的发散大的一定发散）。
证明.
以下对 $k = 1$ 的情况进行证明，对于 $k > 1$ 的情况，由于从级数中删去有限项不影响级数的敛散性，因此可以将前 $k - 1$ 项删去后应用 $k = 1$ 的结论。
(1) 设 $v_n$ 的前 $n$ 项和 $\displaystyle \sum_{k = 1}^{n}v_k = B_n$，那么：
$$\sum_{k = 1}^{n}u_k \leq \sum_{k = 1}^{n}v_k \leq B_n
$$
由于 $B_n$ 收敛，根据单调有界原理，$B_n$ 有上界 $M$，因此 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 有上界 $M$，又由于是正项级数，故收敛。
(2) 反证法。假设此时 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n$ 收敛，那么根据 (1) 的结论，$\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 也收敛，与题设矛盾。由于级数要么收敛，要么发散，因此 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n$ 发散。$\blacksquare$
这个定理可以放松条件至 $u_n \leq Cv_n$，其中 $C$ 是一个非负常数。
推论 设 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n$ 是两个正项级数，且有 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = l$，那么：
(1) 若 $0 < l < +\infty$，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n$ 同敛散；
(2) 若 $l = 0$，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 也收敛；
(3) 若 $l = +\infty$，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 也发散。
使用极限的不等式性质（保号性）可以证明这个推论。
比值判别法（达朗贝尔判别法）
定理 设 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 是正项级数，$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \gamma$，那么：
(1) 若 $\gamma < 1$，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 收敛；
(2) 若 $\gamma > 1$（或 $+\infty$），则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 发散；
(3) 若 $\gamma = 1$，则此判别法失效。
证明.
(1) 取常数 $q_0$ 满足 $\gamma < q_0 < 1$，根据极限的不等式性质（保号性），存在 $N > 0$ 使得 $n > N$ 时，有 $\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n} < q_0$，从而从这一项起：
$$\frac{u_{N + 1}}{u_N} \cdot \frac{u_{N + 2}}{u_{N + 1}} \cdot ... \cdot \frac{u_{n}}{u_{n - 1}} < q_0^{n - N}
$$
即对足够大的 $n$，$\displaystyle u_n < u_N q_0^{n - N}$，由于 $q_0 < 1$，级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_N q_0^{n - N}$ 收敛，根据比较判别法，$\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 也收敛。
(2) $\gamma > 1$（或 $+\infty$），则从某一项起，数列 $\{u_n\}$ 单调递增，而又由于 $u_n > 0$，从而 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \neq 0$，根据级数收敛的必要条件，$\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 发散。
(3) $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n}$ 发散，$\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，而他们都满足 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1$，故此时该判别法失效。$\blacksquare$
根值判别法（柯西判别法）
定理 设 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 是正项级数，$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{u_n} = \gamma$，那么：
(1) 若 $\gamma < 1$，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 收敛；
(2) 若 $\gamma > 1$（或 $+\infty$），则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 发散；
(3) 若 $\gamma = 1$，则此判别法失效。
证明与达朗贝尔判别法类似，都是对等比级数使用比较判别法。
积分判别法
定理 设 $f(x)$ 是单调递减的非负函数，$f(n) = u_n$，那么级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 和反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) dx$ 同敛散。
证明.
(1) 级数收敛推反常积分收敛：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) dx
&= \displaystyle \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{3} f(x) dx + ... + \int_{n}^{n+1} f(x) dx + ... \\
&= \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \int_{n}^{n+1} f(x) dx \\
\end{array}
$$
而 $f(x)$ 单调递减，从而 $\displaystyle f(n+1) \leq \int_{n}^{n+1} f(x) dx \leq f(n)$，因此，由比较判别法，$\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \int_{n}^{n+1} f(x) dx$ 收敛，从而 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) dx$ 收敛。
(2) 反常积分收敛推级数收敛：
与 (1) 同理可推得 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_{n+1}$ 收敛，从而 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 收敛。$\blacksquare$
由于比值判别法和根值判别法是由与等比级数的比较而来，因此，这两种判别法的适用范围是有限的。就通项的增长速度而言：
$$\displaystyle \frac{1}{\ln^p n} > \frac{1}{n^p} > \frac{1}{a^n} > \frac{1}{n!} > \frac{1}{n^n}
$$
以 $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ 为基准，比值判别法和根值判别法适用范围为后三者。
比较判别法和积分判别法适用范围更广。
对于比较判别法来说，可以使用等价无穷小代换，这是因为：
假设 $a_n \sim b_n$，那么 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{a_n}{b_n} = 1$，从而 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} b_n$ 同敛散。
交错级数
莱布尼茨判别法
定理 设 $\{u_n\}$ 从某项起单调不增，且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} u_n = 0$，那么交错级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} (-1)^{n-1} u_n$ 收敛。
证明. 设前 $n$ 项和为 $S_n$，考虑前 $2m$ 项的部分和：
$$\begin{array}{rl}
S_{2m}
&= u_1 - u_2 + u_3 - u_4 + ... + u_{2m - 1} - u_{2m} \\
&= u_1 - (u_2 - u_3) - (u_4 - u_5) - ... - (u_{2m - 2} - u_{2m - 1}) - u_{2m} \\
&\leq u_1
\end{array}
$$
而 $S_{2m + 2} - S_{2m} = u_{2m + 1} - u_{2m + 2} \geq 0$，由单调有界原理，$\{S_{2m}\}$ 收敛。由此可得 $\{S_{2m + 1}\}$ 也收敛，从而 $\{S_n\}$ 收敛。$\blacksquare$
一般的数项级数
使用下面的定理，可以将一般的数项级数转化为正项级数考虑：
定理 如果级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|$ 收敛，那么 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 也收敛。
证明. 考虑 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n + |u_n|$ 的敛散性。
这是一个正项级数，且有 $u_n + |u_n| \leq 2|u_n|$，根据比较判别法，$\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n + |u_n|$ 收敛，从而 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 也收敛。$\blacksquare$
条件收敛与绝对收敛
如果级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|$ 收敛，则称级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 绝对收敛。
如果级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 收敛，而 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|$ 发散，那么称级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 是条件收敛的。
条件收敛级数的正项组成的级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{u_n + |u_n|}{2}$ 发散；条件收敛级数的负项组成的级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{u_n - |u_n|}{2}$ 也发散。
绝对值的比值和根值判别法
定理 设 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 是一般级数，$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \gamma$，那么：
(1) 若 $\gamma < 1$，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|$ 收敛，即 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 绝对收敛；
(2) 若 $\gamma > 1$（或 $+\infty$），则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 发散；
(3) 若 $\gamma = 1$，则此判别法失效。
证明. 只证明 (2) 为什么可以直接得到原级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 发散。
由极限的不等式性质，当 $n$ 足够大时，$\displaystyle \frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} > 1$，从而自某项起数列 $\{|u_n|\}$ 单调递增。又由于 $|u_n| > 0$，因此，$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} |u_n| \neq 0$，从而 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n \neq 0$ 从而 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 发散。$\blacksquare$
定理 设 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 是一般级数，$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|u_n|} = \gamma$，那么：
(1) 若 $\gamma < 1$，则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} |u_n|$ 收敛，即 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 绝对收敛；
(2) 若 $\gamma > 1$（或 $+\infty$），则 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n$ 发散；
(3) 若 $\gamma = 1$，则此判别法失效。
(*) 绝对收敛的级数的性质
绝对收敛的级数拥有更好的性质，例如：
- 重排级数仍然绝对收敛，并取得相同的级数和（而条件收敛的级数可以通过重排得到任意结果）；
- 绝对收敛的两个级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n = A$，$\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} v_n = B$，则按任意顺序排列的两级数之积仍然绝对收敛，且其和为 $AB$。
函数项级数
函数项级数的基本概念
设 $\{u_n(x)\}$ 是定义在区间 $D$ 上的函数序列，那么函数项级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)$ 的部分和函数 $S_n(x)$ 定义为：
$$S_n(x) = \sum_{k = 1}^{n} u_k(x) = u_1(x) + u_2(x) + ... + u_n(x),\quad x \in D
$$
收敛 固定 $x = x_0$，如果数列 $\{S_n(x_0)\}$ 收敛，即此时部分和函数的极限 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n(x_0)$ 存在，那么称函数项级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)$ 在点 $x = x_0$ 处收敛。
收敛域 如果函数项级数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)$ 在区间 $D$ 上的每一点 $x$ 都收敛，那么称函数项级数在 $D$ 上收敛。此时称 $D$ 为函数项级数的收敛域。
(*) 一致收敛 用极限的定义展开函数项级数收敛的定义：对 $D$ 上的每一点 $x_0$，总存在 $N(\varepsilon, x_0) >0$ 使得当 $n > N$ 时，对 $D$ 上的每一点 $x$ 都有 $|S_n(x) - S(x)| < \varepsilon$。这里的 $N(\varepsilon, x_0)$ 的取值可能依赖于 $\varepsilon, x_0$。如果对 $D$ 上的每一点 $x_0$ 和固定的 $\varepsilon$ 能找到与 $x_0$ 无关的 $N(\varepsilon)$，那么称函数项级数在 $D$ 上一致收敛。
一致收敛的几何意义是，对于任意给定的误差 $\varepsilon$，都能找到 $N$ 使得当 $n > N$ 时，函数项级数的部分和函数 $S_n(x)$ 在整个区间 $D$ 上的图像都落在误差带 $\varepsilon$ 内。
一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法：如果对一切 $x \in D$ 都有 $|u_n(x)| \leq M_n$（$n = k, k+1, ...$），其中 $\displaystyle \sum_{n = k}^{+\infty} M_n$ 是一个收敛的正项级数，那么函数项级数 $\displaystyle \sum_{n = k}^{+\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。
一致收敛的函数项级数拥有以下性质：
- 一致收敛的函数项级数如果各个项 $u_n(x)$ 连续，级数和函数 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} u_n(x)$ 也连续；
- 一致收敛的函数项级数可以逐项积分，即可以交换 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}$ 和 $\displaystyle \int_a^b$ 的次序；
- 一致收敛的函数项级数，如果逐项微分后得到的级数仍然一致收敛，那么可以逐项微分，即可以交换 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty}$ 和 $\displaystyle \frac{d}{dx}$ 的次序。
幂级数
幂级数的收敛域
幂级数的收敛域满足阿贝尔定理：
定理（阿贝尔定理） 如果幂级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$ 在 $x = x_0$ 处收敛，那么对于任意 $x$ 满足 $|x| < |x_0|$，幂级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$ 都都收敛；如果幂级数在 $x = x_0$ 处发散，那么对于任意 $x$ 满足 $|x| > |x_0|$，幂级数都发散。
证明.
假设幂级数幂级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$ 在 $x = x_0$ 处收敛，那么：
$$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n x_0^n = 0
$$
即 $a_n x_0^n$ 有界，设 $|a_n x_0^n| \leq M$，那么对于任意 $x$ 满足 $|x| < |x_0|$，有：
$$|a_n x^n| = |a_n x_0^n| \left| \frac{x}{x_0} \right|^n \leq M \left| \frac{x}{x_0} \right|^n
$$
又等比级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} M \left| \frac{x}{x_0} \right|^n$ 收敛，从而由正项级数的比较判别法，$\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$ 在 $x$ 处绝对收敛。
对于定理的第二部分，使用反证法。假设存在某一点 $x_1$ 满足 $|x_1| > |x_0|$，幂级数在该点收敛，根据已证得的结论，可得 $x_0$ 处的幂级数也收敛，与题设矛盾。$\blacksquare$
推论 如果幂级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$ 在某一点 $x_0$ 处条件收敛，那么这个点只有可能是收敛域的边界点。
由阿贝尔定理，可得幂级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$ 的收敛域是一个以 $x = 0$ 为中心的对称区间。对于区间的端点，需要单独讨论。将这个区间的半径称为收敛半径。
幂级数的收敛半径的计算，使用柯西-阿达玛公式：
定理 对幂级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$，设 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \rho$，那么：
(1) 如果 $\rho = 0$，那么收敛半径 $R = +\infty$；
(2) 如果 $\rho = +\infty$，那么收敛半径 $R = 0$；
(3) 如果 $0 < \rho < +\infty$，那么收敛半径 $R = \displaystyle \frac{1}{\rho}$。
证明. 利用绝对值的比值判别法。
$$\lim_{n \to +\infty} \left| \frac{a_{n+1} x^{n+1}}{a_n x^n} \right| = \rho |x|
$$
当 $|x| < \displaystyle \frac{1}{\rho}$ 时，级数绝对收敛；当 $|x| > \displaystyle \frac{1}{\rho}$ 时，级数发散。当 $|x| = \displaystyle \frac{1}{\rho}$ 时，无法判定，需要单独讨论。$\blacksquare$
柯西-阿达玛公式的根式形式：
定理 对幂级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$，设 $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \rho$，那么：
(1) 如果 $\rho = 0$，那么收敛半径 $R = +\infty$；
(2) 如果 $\rho = +\infty$，那么收敛半径 $R = 0$；
(3) 如果 $0 < \rho < +\infty$，那么收敛半径 $R = \displaystyle \frac{1}{\rho}$。
证明与柯西-阿达玛公式的证明类似，利用绝对值的根值判别法。
幂级数的性质
四则运算性质：
若幂级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$ 和 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} b_n x^n$ 的收敛半径分别为 $R_a$ 和 $R_b$，那么：
(0) 两个幂级数的四则运算所产生的幂级数的收敛半径：当 $R_a \neq R_b$ 时，$R = \min \{R_a, R_b\}$；当 $R_a = R_b$ 时，$R \geq \min \{R_a, R_b\}$；
(1) 幂级数的线性性质：$\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n \pm k \sum_{n = 0}^{+\infty} b_n x^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} (a_n \pm k b_n) x^n$；
(2) 两个幂级数的乘积等于它们的柯西乘积：$\displaystyle \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n \right) \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} b_n x^n \right) = \sum_{n = 0}^{+\infty} (a_0 b_n + a_1 b_{n-1} + \dots + a_nb_0) x^n$（画图法，副对角线）；
分析性质：
(1) 在收敛域内，和函数是连续函数；
(2) 幂级数可以逐项求导：$\displaystyle \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n \right)' = \sum_{n = 1}^{+\infty} n a_n x^{n-1}$，收敛半径不变；
(3) 幂级数可以逐项求积分：$\displaystyle \int \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n \right) dx = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1} + C$，收敛域不变。
将函数展开为幂级数
定理 （唯一性定理）设 $S(x) = \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n x^n$，则 $S(x)$ 在 $x = 0$ 处的各阶导数满足：
$$a_0 = S(0), \quad a_1 = S'(0), \dots , \quad a_n = \frac{S^{(n)}(0)}{n!}, \quad \dots
$$
通过逐项求导比对系数即可得到上面的等式。这表明，幂级数的系数是唯一的，并且可以通过在展开点的各阶导数得到。
定理 设 $f(x)$ 在区间 $|x - x_0| < R$ 上有任意阶导数，幂级数 $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n$ 在 $|x - x_0| < R$ 上收敛，那么在该区间上：
$$f(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n
$$
当且仅当：对任意 $|\xi - x_0| < R$：
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{f^{(n + 1)}(\xi)}{(n + 1)!} (x - x_0)^{n + 1} = 0
$$
求幂级数的和函数
主要是通过逐项微分、逐项积分和幂级数的运算性质，凑出熟知的几个幂级数展开。或者通过幂级数求导建立微分方程，再解微分方程。
熟知的幂级数展开：
$$\begin{array}{rl}
\displaystyle \frac{1}{1 - x}
&= \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n, \quad |x| < 1 \\ \\
\displaystyle \ln(1 + x)
&= \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}, \quad -1 < x \leq 1 \\ \\
\displaystyle - \ln (1 - x)
&= \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} \frac{x^n}{n}, \quad -1 \leq x < 1 \\ \\
\displaystyle e^x
&= \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad x \in \mathbb{R} \\ \\
\displaystyle \sin x
&= \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}, \quad x \in \mathbb{R} \\ \\
\displaystyle (1 + x)^{\alpha}
&= \displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{\alpha(\alpha - 1)...(\alpha - n + 1)}{n!}x^n, \quad |x| < 1
\end{array}
$$
凑展开式的若干工具：
(1.a) 幂级数的运算律：$\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{(n + \alpha)(n + \beta)} = \frac{1}{\alpha - \beta} \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n + \beta} + \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{x^n}{n + \alpha} \right)$；
(1.b) 幂级数的运算律： $\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^{n \pm 1} = x^{\pm 1} \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^n$；
(1.c) 加减有限项：$\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n + 1) x^{n + 1} = \sum_{n = 1}^{+\infty} f(n) x^{n} = \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^{n} - f(0) x^0$；
(2) 幂级数的逐项微分：$\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} n f(n) x^{n-1} = \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^n \right)'$；
(3) 幂级数的逐项积分：$\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} \frac{f(n)}{n+1} x^{n+1} = \int \left( \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^n \right) dx + C$；
(4) 换元法：$\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) x^n = S(x)$，则令 $x = \varphi(t)$，$\displaystyle \sum_{n = 0}^{+\infty} f(n) \big(\varphi(t)\big)^n = S\big( \varphi(t) \big)$，注意收敛域的变化。
先使用 (2) (3) 调整 $f(n)$ 还是先调整 $x$ 的指数：如果先调整指数后，能够让 (2) (3) 的右边直接得出，那么就先调整指数；否则，先调整 $f(n)$。
不得不提的一个公式：$(1 + x + x^2 + ... + x^n)(1 - x) = 1 - x^{n+1}$。
不得不提的另一个公式：以任意函数 $f(x)$ 构造奇函数或偶函数。奇函数：$\displaystyle \frac{f(x) - f(-x)}{2}$；偶函数：$\displaystyle \frac{f(x) + f(-x)}{2}$。
一个被搁置的问题：收敛域的确定。
使用幂级数求解部分数项级数
幂级数可以用来求解形如 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} f(n) a^{n}$ 的级数，设 $S(x) = \displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} f(n) x^{n}$，那么 $\displaystyle \sum_{n = 1}^{+\infty} f(n) a^{n} = S(a)$。
这将求解部分数项级数的问题转化为求解幂级数的和函数的问题。
傅里叶级数
周期为 $T$ 的周期函数 $f(x)$ 对应的傅里叶级数为：
令 $\omega = \displaystyle \frac{2\pi}{T}$：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( a_n \cos \omega nx + b_n \sin \omega nx \right)
$$
其中傅里叶系数：
$$a_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \omega nx dx
$$
$$b_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \omega nx dx
$$
在满足一定条件时，$f(x)$ 的傅里叶级数可以收敛到 $f(x)$。
三角函数系
三角函数系
$$1, \quad \cos \omega x, \quad \sin \omega x, \quad \cos 2\omega x, \quad \sin 2\omega x, \quad \dots
$$
是正交函数系，即：
$$\int_{-T/2}^{T/2} \cos \omega nx \cos \omega mx dx = \begin{cases} 0, & n \neq m \\ \displaystyle \frac{T}{2}, & n = m \end{cases}
$$
$$\int_{-T/2}^{T/2} \sin \omega nx \sin \omega mx dx = \begin{cases} 0, & n \neq m \\ \displaystyle \frac{T}{2}, & n = m \end{cases}
$$
$$\int_{-T/2}^{T/2} \cos \omega nx \sin \omega mx dx = 0, \quad \text{for all } n, m
$$
狄利克雷收敛定理
定理 （狄利克雷收敛定理）如果 $f(x)$ 是周期为 $\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega}$ 的周期函数，并且在一个周期（闭区间）内仅有有限个第一类间断点，那么 $f(x)$ 的傅里叶级数在任意一点 $x$ 处都收敛，并有：
$$\frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( a_n \cos \omega nx + b_n \sin \omega nx \right) =
\begin{cases}
f(x), & f(x) \text{continuous at } x \\
\displaystyle \frac{f(x^-) + f(x^+)}{2}, & f(x) \text{discontinuous at } x
\end{cases}
$$
将函数展开为傅里叶级数
在 $(-\infty, +\infty)$ 上展开周期函数
计算傅里叶系数，根据狄利克雷收敛定理，得到傅里叶级数的和函数。
在有限区间上对完整周期进行展开
假设在区间 $\displaystyle \left[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ 上对任意的 $f(x)$ 进行展开，那么傅里叶系数：
$$a_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \omega nx dx
$$
$$b_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \omega nx dx
$$
由于周期函数的乘积仍然是周期函数，并且周期不会变大，因此，对于傅里叶系数 $a_n, b_n$ 的计算，实际上可以在 $f(x)$ 的任意一个完整的周期内进行。
根据狄利克雷收敛定理，处理周期端点和不连续点，得到傅里叶级数的和函数。
在周期的端点处，和函数 $\displaystyle S(\pm \frac{T}{2}) = \frac{1}{2}\left[ f(-\frac{T}{2}^+) + f(+\frac{T}{2}^-) \right]$。
奇函数的傅里叶级数中不含余弦项，即傅里叶系数 $a_n = 0$；
偶函数的傅里叶级数中不含正弦项，即傅里叶系数 $b_n = 0$。
在有限区间上对半周期进行展开，展开为仅含正弦或余弦项的级数
展开为仅含正弦的级数，需要通过奇延拓将 $f(x)$ 延拓为奇函数，然后在 $\displaystyle \left[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ 上展开。
展开为仅含余弦的级数，需要通过偶延拓将 $f(x)$ 延拓为偶函数，然后在 $\displaystyle \left[ -\frac{T}{2}, \frac{T}{2} \right]$ 上展开。
此时狄利克雷收敛定理需要对奇延拓或偶延拓后的函数使用。
不得不提的一个结论：奇函数 $\times$ 奇函数 $=$ 偶函数；偶函数 $\times$ 偶函数 $=$ 偶函数；奇函数 $\times$ 偶函数 $=$ 奇函数。
